Considere os vetores A=(3,0 cos (30^circ) ; 3,0 sin (30^circ)) m e B=(0 ; 3,0) m. Faça um gráfico e determine graficamente:
(a) A+B
(b) A-B
© 2 B-A
(d) 2 A-2 B
(e) Agora determine analiticamente os vetores anteriores.
y
Figura 8

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, A e B, definidos pelas suas componentes. Precisamos realizar operações de adição, subtração e multiplicação por escalar entre esses vetores e determinar os resultados tanto graficamente quanto analiticamente. Para isso, vamos precisar entender como somar e subtrair vetores usando suas componentes e aplicar as fórmulas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as componentes do vetor A dado em termos de ângulos. O vetor A é definido como:
A = (3,0 cos (30^circ) ; 3,0 sin (30^circ)) m
Calculando as componentes:
Ax = 3,0 cos(30^circ) = 3,0 times raiz32 approx 2,598 , m
Ay = 3,0 sin(30^circ) = 3,0 times 12 = 1,5 , m
Portanto, A = (2,598; 1,5) , m e B = (0 ; 3,0) , m.

Passo 3

(a) Determinando A + B graficamente

Para somar graficamente dois vetores, colocamos a origem de um vetor na ponta do outro e desenhamos o vetor resultante que vai da origem do primeiro vetor até a ponta do segundo. Então:
  1. Desenhe A começando na origem.
  2. A partir da ponta de A, desenhe B.
  3. O vetor resultante A + B é o vetor que vai da origem de A até a ponta de B.

Passo 4

(b) Determinando A - B graficamente

Subtrair um vetor é o mesmo que somar o vetor oposto. Então, para A - B:
  1. Desenhe A na origem.
  2. Inverta a direção de B para obter -B.
  3. Desenhe -B a partir da ponta de A.
  4. O vetor resultante A - B vai da origem de A até a ponta de -B.

Passo 5

© Determinando 2 B - A graficamente

Para calcular 2 B - A:
  1. Multiplique B por 2, desenhando um vetor com o dobro do comprimento de B na mesma direção.
  2. Inverta a direção de A para obter -A.
  3. Desenhe -A a partir da ponta de 2 B.
  4. O vetor resultante 2 B - A vai da origem de 2 B até a ponta de -A.

Passo 6

(d) Determinando 2 A - 2 B graficamente

Para calcular 2 A - 2 B:
  1. Multiplique A e B por 2, desenhando vetores com o dobro dos comprimentos na mesma direção de cada vetor original.
  2. Inverta a direção de 2 B para obter -2 B.
  3. Desenhe -2 B a partir da ponta de 2 A.
  4. O vetor resultante 2 A - 2 B vai da origem de 2 A até a ponta de -2 B.

Passo 7

(e) Determinando analiticamente os vetores anteriores

Vamos calcular cada vetor utilizando as componentes calculadas anteriormente.

(a) A + B

A + B = (Ax + Bx ; Ay + By) = (2,598 + 0 ; 1,5 + 3,0) = (2,598 ; 4,5) , m

(b) A - B

A - B = (Ax - Bx ; Ay - By) = (2,598 - 0 ; 1,5 - 3,0) = (2,598 ; -1,5) , m

© 2 B - A

Primeiro calculamos 2 B:
2 B = (2 times 0 ; 2 times 3,0) = (0 ; 6,0) , m
Então:
2 B - A = (0 - 2,598 ; 6,0 - 1,5) = (-2,598 ; 4,5) , m

(d) 2 A - 2 B

Calculamos 2 A e 2 B:
2 A = (2 times 2,598 ; 2 times 1,5) = (5,196 ; 3,0) , m
2 B = (0 ; 6,0) , m
Então:
2 A - 2 B = (5,196 - 0 ; 3,0 - 6,0) = (5,196 ; -3,0) , m

Resposta

As soluções analíticas são:
(a) A + B = (2,598; 4,5) , m
(b) A - B = (2,598; -1,5) , m
© 2 B - A = (-2,598; 4,5) , m
(d) 2 A - 2 B = (5,196; -3,0) , m

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