Um observador. localizado na origem de um sistema de referência, acompanha o movimento de uma automóvel através de uma luneta. O automóvel passa pelo ponto P e se dirige par ao ponto Q. As coordenadas cartesianas do ponto P são (2,0 ;-4,0) km e as do ponto Q são (-2,0 ;-6,0) km. Calcule:
(a) a distância entre os pontos P e Q;
(b) o ângulo theta que a luneta griou acompanhando o movimento do automóvel entre P e Q.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um carro que passa pelos pontos e , com coordenadas cartesianas dadas. Queremos calcular duas coisas:
  1. A distância entre os pontos e (isso usa geometria básica).
  2. O ângulo que a luneta do observador gira ao acompanhar o movimento do carro de para (isso envolve trigonometria).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a distância entre os pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e . Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:
Aqui, são as coordenadas de e são as coordenadas de .

Passo 3

Vamos identificar as coordenadas:
  • Para o ponto , temos km.
  • Para o ponto , temos km.

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da distância:
d = raiz(-2 - 2)^2 + (-6 - (-4))^2 = raiz(-4)^2 + (-2)^2 = raiz16 + 4 = raiz20

Passo 5

Simplificando a raiz quadrada:
raiz20 = raiz4 times 5 = 2raiz5 approx 4,47 km

Passo 6

Agora, vamos calcular o ângulo que a luneta gira ao acompanhar o movimento do carro de para . Isso envolve encontrar o ângulo entre os vetores posição de e em relação à origem.

Passo 7

Primeiro, vamos representar os vetores posição:
  • Vetor km
  • Vetor km

Passo 8

Usamos a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores:
OP cdot OQ = |OP| times |OQ| times cos(theta)
Onde:

Passo 9

Substituímos na fórmula do produto escalar:
20 = (2raiz5)(2raiz10) cos(theta)
20 = 4raiz50 cos(theta)
20 = 4 times 5raiz2 cos(theta)
20 = 20raiz2 cos(theta)

Passo 10

Isolando cos(theta) = 2020raiz2 = 1raiz2 approx 0,7071 :

Passo 11

Agora, encontramos theta = arccos(1raiz2) approx 45^circ usando a função arco cosseno:

Resposta

(a) A distância entre os pontos e é km, aproximadamente 4,47 km.
(b) O ângulo que a luneta girou é de aproximadamente 45 graus.

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