Um observador. localizado na origem de um sistema de referência, acompanha o movimento de uma automóvel através de uma luneta.
automóvel passa pelo ponto
e se dirige par ao ponto
. As coordenadas cartesianas do ponto
são
as do ponto
são
. Calcule:
(a) a distância entre os pontos
e
;
(b) o ângulo
que a luneta griou acompanhando o movimento do automóvel entre
e
.
(a) a distância entre os pontos
(b) o ângulo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um carro que passa pelos pontos
e
, com coordenadas cartesianas dadas. Queremos calcular duas coisas:
- A distância entre os pontos
e (isso usa geometria básica). - O ângulo que a luneta do observador gira ao acompanhar o movimento do carro de
para (isso envolve trigonometria).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a distância entre os pontos
e
. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:
Aqui,
são as coordenadas de
e
são as coordenadas de
.
Passo 3
Vamos identificar as coordenadas:
- Para o ponto
, temos km. - Para o ponto
, temos km.
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da distância:
Passo 5
Simplificando a raiz quadrada:
Passo 6
Agora, vamos calcular o ângulo
que a luneta gira ao acompanhar o movimento do carro de
para
. Isso envolve encontrar o ângulo entre os vetores posição de
e
em relação à origem.
Passo 7
Primeiro, vamos representar os vetores posição:
- Vetor
km - Vetor
km
Passo 8
Usamos a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores:
Onde:
Passo 9
Substituímos na fórmula do produto escalar:
Passo 10
Isolando
:
Passo 11
Agora, encontramos
usando a função arco cosseno:
Resposta
(a) A distância entre os pontos
e
é
km, aproximadamente 4,47 km.
(b) O ângulo
que a luneta girou é de aproximadamente 45 graus.