Considere a equação .
Determine as coordenadas do centro, focos e vérlices.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação quadrática:
O objetivo é encontrar as coordenadas do centro, dos focos e dos vértices dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas, já que essa equação representa uma hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão da hipérbole. Para isso, precisamos completar o quadrado nos termos de e .
Reorganizando os termos:
Agora, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e .
Para o termo :
O termo que completa o quadrado é .
Então:
Para o termo :
O termo que completa o quadrado é .
Então:

Passo 4

Agora, vamos ajustar a equação adicionando e subtraindo os termos que completam o quadrado, lembrando de manter o equilíbrio da equação.
Substituindo na equação original:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos agora isolar os termos completos do quadrado na equação:
Simplificando os termos constantes:
Agora, vamos passar o termo constante para o lado direito da equação:

Passo 6

Para chegar à forma padrão da hipérbole, vamos dividir toda a equação por 400:
Simplificando as frações:

Passo 7

Agora, com a equação na forma padrão da hipérbole:
Podemos identificar os parâmetros:

Passo 8

O centro da hipérbole é dado por :

Passo 9

Para encontrar os vértices, usamos a fórmula :
é
Então:

Passo 10

Para encontrar os focos, precisamos calcular , onde :
Então, os focos estão em:
Portanto:

Resposta

  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e

Exercícios relacionados

Sejam e matrizes reais de ordem 3, satisfazendo às seguintes relações: e . Se o determinante de é 32 , determine o valor do módulo do determinante de A .
Calcule os determinantes, das seguintes matrizes:
(a)
Se e encontre
c) ,