Considere a equação
.
Determine as coordenadas do centro, focos e vérlices.
Determine as coordenadas do centro, focos e vérlices.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação quadrática:
O objetivo é encontrar as coordenadas do centro, dos focos e dos vértices dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas, já que essa equação representa uma hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão da hipérbole. Para isso, precisamos completar o quadrado nos termos de
e
.
Reorganizando os termos:
Agora, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
.
Para o termo
:
O termo que completa o quadrado é
.
Então:
Para o termo
:
O termo que completa o quadrado é
.
Então:
Passo 4
Agora, vamos ajustar a equação adicionando e subtraindo os termos que completam o quadrado, lembrando de manter o equilíbrio da equação.
Substituindo na equação original:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos agora isolar os termos completos do quadrado na equação:
Simplificando os termos constantes:
Agora, vamos passar o termo constante para o lado direito da equação:
Passo 6
Para chegar à forma padrão da hipérbole, vamos dividir toda a equação por 400:
Simplificando as frações:
Passo 7
Agora, com a equação na forma padrão da hipérbole:
Podemos identificar os parâmetros:
-
-
-
⇒ -
⇒
Passo 8
O centro da hipérbole é dado por
:
Passo 9
Para encontrar os vértices, usamos a fórmula
:
Então:
Passo 10
Para encontrar os focos, precisamos calcular
, onde
:
Então, os focos estão em:
Portanto:
Resposta
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e
Exercícios relacionados
Sejam
e
matrizes reais de ordem 3, satisfazendo às seguintes relações:
e
. Se o determinante de
é 32 , determine o valor do módulo do determinante de A .
Calcule os determinantes, das seguintes matrizes:
(a)
(a)
Se
e
encontre
c) ,
c)