Considere a equação 25 x^2-16 y^2+250 x+32 y+209=0.
Determine as coordenadas do centro, focos e vérlices.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação quadrática:
25x^2 - 16y^2 + 250x + 32y + 209 = 0
O objetivo é encontrar as coordenadas do centro, dos focos e dos vértices dessa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas, já que essa equação representa uma hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão da hipérbole. Para isso, precisamos completar o quadrado nos termos de 25x^2 + 250x - 16y^2 + 32y = -209 e 25(x^2 + 10x) - 16(y^2 - 2y) = -209.
Reorganizando os termos:
Agora, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 e y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2.
Para o termo :
O termo que completa o quadrado é .
Então:
Para o termo :
O termo que completa o quadrado é .
Então:

Passo 4

Agora, vamos ajustar a equação adicionando e subtraindo os termos que completam o quadrado, lembrando de manter o equilíbrio da equação.
Substituindo na equação original:
25(x^2 + 10x + 25 - 25) - 16(y^2 - 2y + 1 - 1) = -209
Isso simplifica para:
25(x + 5)^2 - 625 - 16(y - 1)^2 + 16 = -209

Passo 5

Vamos agora isolar os termos completos do quadrado na equação:
25(x + 5)^2 - 16(y - 1)^2 - 625 + 16 = -209
Simplificando os termos constantes:
25(x + 5)^2 - 16(y - 1)^2 - 609 = -209
Agora, vamos passar o termo constante para o lado direito da equação:
25(x + 5)^2 - 16(y - 1)^2 = -209 + 609
25(x + 5)^2 - 16(y - 1)^2 = 400

Passo 6

Para chegar à forma padrão da hipérbole, vamos dividir toda a equação por 400:
25(x + 5)^2400 - 16(y - 1)^2400 = 1
Simplificando as frações:
(x + 5)^216 - (y - 1)^225 = 1

Passo 7

Agora, com a equação na forma padrão da hipérbole:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Podemos identificar os parâmetros:

Passo 8

O centro da hipérbole é dado por Centro = (-5, 1):

Passo 9

Para encontrar os vértices, usamos a fórmula Vértices = (-5 pm 4, 1):
é
Então:

Passo 10

Para encontrar os focos, precisamos calcular c = raiz16 + 25 = raiz41, onde Focos = (h pm c, k):
Então, os focos estão em:
Portanto:

Resposta

  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e

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