Sejam A, B e C matrizes reais de ordem 3, satisfazendo às seguintes relações: A B=C e B=2 A. Se o determinante de C é 32 , determine o valor do módulo do determinante de A .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três matrizes , e de ordem 3 (ou seja, 3x3). Sabemos que e que . Além disso, o determinante de é 32. A gente precisa descobrir o valor absoluto do determinante de , ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes de matrizes:
  1. Determinante do produto de matrizes: .
  2. Determinante de uma matriz multiplicada por um escalar: Se , então , onde é a ordem da matriz.
Vamos passo a passo para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar det(C) = det(AB) = det(A) times det(B) com os determinantes. Usando a propriedade do determinante do produto:
32 = det(A) times det(B)
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos substituir det(B) = 2^3 times det(A) = 8 times det(A) na expressão. Para encontrar , usamos a propriedade do determinante de uma matriz multiplicada por um escalar. Como e a matriz é de ordem 3:

Passo 4

Substituindo 32 = det(A) times 8 times det(A) na equação anterior:
32 = 8 times (det(A))^2
Isso simplifica para:
4 = (det(A))^2
Dividindo ambos os lados por 8:

Passo 5

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar det(A) = raiz4 = 2 ou det(A) = -2 :
| det(A) | = 2
Como estamos procurando o valor absoluto do determinante:

Resposta

| det(A) | = 2

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