Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A=(8,4) e B=(1,-3) e cujo centro pertença à reta r: x-y+3=0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo circunferências. Precisamos encontrar a equação de uma circunferência que passa pelos pontos e , e cujo centro está situado na reta . Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, como a fórmula da circunferência e a condição de equidistância dos pontos ao centro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
onde h = y - 3 ou seja h = k - 3 são as coordenadas do centro e é o raio da circunferência.
Sabemos que o centro está na reta . Isso significa que as coordenadas do centro devem satisfazer essa equação. Portanto, podemos expressar uma das coordenadas em função da outra. Vamos resolver para :

Passo 3

Como a circunferência passa pelos pontos (8 - h)^2 + (4 - k)^2 = r^2 e (1 - h)^2 + (-3 - k)^2 = r^2 , as distâncias desses pontos ao centro (8 - h)^2 + (4 - k)^2 = (1 - h)^2 + (-3 - k)^2 devem ser iguais ao raio . Isso nos dá duas equações:
Como ambas são iguais a , podemos igualar as duas expressões:

Passo 4

Agora, expandimos os termos das duas expressões:
(64 - 16h + h^2) + (16 - 8k + k^2) = (1 - 2h + h^2) + (9 + 6k + k^2)
Simplificando:
64 - 16h + h^2 + 16 - 8k + k^2 = 1 - 2h + h^2 + 9 + 6k + k^2
Cancelando termos semelhantes:
80 - 16h - 8k = 10 - 2h + 6k
Reorganizando:
-16h - 8k + 80 = -2h + 6k + 10
Levar todos os termos para um lado:
-16h + 2h - 8k - 6k + 80 - 10 = 0
Simplificando:
-14h - 14k + 70 = 0
Dividindo tudo por -14:
h + k - 5 = 0 ou h + k = 5

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações:
h + k = 5 x - y + 3 = 0 (que já sabemos que h = k - 3) á
Substituindo (k - 3) + k = 5 na primeira equação:
2k - 3 = 5
2k = 8
k = 4
h = 4 - 3 = 1
Então, substituindo em :
Portanto, o centro da circunferência é .

Passo 6

Agora que temos o centro r = raiz(8 - 1)^2 + (4 - 4)^2 = raiz7^2 + 0^2 = raiz49 = 7 , vamos calcular o raio usando a distância entre o centro e um dos pontos, por exemplo, o ponto :

Resposta

A equação da circunferência é:
(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 49

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