Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos
e
e cujo centro pertença à reta
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo circunferências. Precisamos encontrar a equação de uma circunferência que passa pelos pontos
e
, e cujo centro está situado na reta
. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, como a fórmula da circunferência e a condição de equidistância dos pontos ao centro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano é dada por:
onde
são as coordenadas do centro e
é o raio da circunferência.
Sabemos que o centro
está na reta
. Isso significa que as coordenadas do centro devem satisfazer essa equação. Portanto, podemos expressar uma das coordenadas em função da outra. Vamos resolver para
:
Passo 3
Como a circunferência passa pelos pontos
e
, as distâncias desses pontos ao centro
devem ser iguais ao raio
. Isso nos dá duas equações:
Como ambas são iguais a
, podemos igualar as duas expressões:
Passo 4
Agora, expandimos os termos das duas expressões:
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:
Reorganizando:
Levar todos os termos para um lado:
Simplificando:
Dividindo tudo por -14:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Então, substituindo
em
:
Portanto, o centro da circunferência é
.
Passo 6
Agora que temos o centro
, vamos calcular o raio
usando a distância entre o centro e um dos pontos, por exemplo, o ponto
:
Resposta
A equação da circunferência é: