Considere a equação . Mostre que a equação acima representa uma hipérbole e encontre sua equação canônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação . Nosso objetivo é mostrar que essa equação representa uma **hipérbole** e encontrar a sua **equação canônica**. Para isso, vamos precisar usar o **completar o quadrado** e entender um pouco sobre as **conicidades**.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de e juntos: Aqui, separamos os termos quadráticos e lineares de e .

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de : Para completar o quadrado dentro do parêntese, pegamos metade do coeficiente de , que é 10, dividimos por 2 para obter 5, e elevamos ao quadrado, ficando 25. Então adicionamos e subtraímos 25 dentro do parêntese: Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de : Completando o quadrado dentro do parêntese de , pegamos metade de -2, que é -1, e elevamos ao quadrado, ficando 1. Adicionamos e subtraímos 1: Simplificando:

Passo 5

Vamos agora juntar os termos constantes: Adicionando 609 em ambos os lados:

Passo 6

Para chegar à equação canônica da hipérbole, vamos dividir todos os termos por 400: Simplificando as frações:

Resposta

A equação dada representa uma hipérbole, e a sua equação canônica é:

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