Considere a equação 25 x^2-16 y^2+250 x+32 y+209=0.
Mostre que a equação acima representa uma hipérbole e encontre sua equação canônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação . Nosso objetivo é mostrar que essa equação representa uma hipérbole e encontrar a sua equação canônica. Para isso, vamos precisar usar o completar o quadrado e entender um pouco sobre as conicidades.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 25x^2 + 250x - 16y^2 + 32y = -209 e juntos:
Aqui, separamos os termos quadráticos e lineares de e .

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 25(x^2 + 10x) - 16y^2 + 32y = -209 . Primeiro, fatoramos o coeficiente de 25(x^2 + 10x + 25 - 25) - 16y^2 + 32y = -209 :
25(x + 5)^2 - 625 - 16y^2 + 32y = -209
Para completar o quadrado dentro do parêntese, pegamos metade do coeficiente de , que é 10, dividimos por 2 para obter 5, e elevamos ao quadrado, ficando 25. Então adicionamos e subtraímos 25 dentro do parêntese:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de 25(x + 5)^2 - 625 - 16(y^2 - 2y) = -209 . Primeiro, fatoramos o coeficiente de 25(x + 5)^2 - 625 - 16(y^2 - 2y + 1 - 1) = -209 :
25(x + 5)^2 - 625 - 16(y - 1)^2 + 16 = -209
Completando o quadrado dentro do parêntese de , pegamos metade de -2, que é -1, e elevamos ao quadrado, ficando 1. Adicionamos e subtraímos 1:
Simplificando:

Passo 5

Vamos agora juntar os termos constantes:
25(x + 5)^2 - 16(y - 1)^2 - 625 + 16 = -209
25(x + 5)^2 - 16(y - 1)^2 - 609 = -209
Adicionando 609 em ambos os lados:
25(x + 5)^2 - 16(y - 1)^2 = 400

Passo 6

Para chegar à equação canônica da hipérbole, vamos dividir todos os termos por 400:
25(x + 5)^2400 - 16(y - 1)^2400 = 1
Simplificando as frações:
(x + 5)^216 - (y - 1)^225 = 1

Resposta

A equação dada representa uma hipérbole, e a sua equação canônica é:
(x + 5)^216 - (y - 1)^225 = 1

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