Considere a equação .
Mostre que a equação acima representa uma hipérbole e encontre sua equação canônica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação . Nosso objetivo é mostrar que essa equação representa uma **hipérbole** e encontrar a sua **equação canônica**. Para isso, vamos precisar usar o **completar o quadrado** e entender um pouco sobre as **conicidades**.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de e juntos:
Aqui, separamos os termos quadráticos e lineares de e .
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Para completar o quadrado dentro do parêntese, pegamos metade do coeficiente de , que é 10, dividimos por 2 para obter 5, e elevamos ao quadrado, ficando 25. Então adicionamos e subtraímos 25 dentro do parêntese:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Completando o quadrado dentro do parêntese de , pegamos metade de -2, que é -1, e elevamos ao quadrado, ficando 1. Adicionamos e subtraímos 1:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agora juntar os termos constantes:
Adicionando 609 em ambos os lados:
Passo 6
Para chegar à equação canônica da hipérbole, vamos dividir todos os termos por 400:
Simplificando as frações:
Resposta
A equação dada representa uma hipérbole, e a sua equação canônica é: