Considere a equação
.
Mostre que a equação acima representa uma hipérbole e encontre sua equação canônica.
Mostre que a equação acima representa uma hipérbole e encontre sua equação canônica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação
. Nosso objetivo é mostrar que essa equação representa uma hipérbole e encontrar a sua equação canônica. Para isso, vamos precisar usar o completar o quadrado e entender um pouco sobre as conicidades.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e
juntos:
Aqui, separamos os termos quadráticos e lineares de
e
.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro do parêntese, pegamos metade do coeficiente de
, que é 10, dividimos por 2 para obter 5, e elevamos ao quadrado, ficando 25. Então adicionamos e subtraímos 25 dentro do parêntese:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de
. Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Completando o quadrado dentro do parêntese de
, pegamos metade de -2, que é -1, e elevamos ao quadrado, ficando 1. Adicionamos e subtraímos 1:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agora juntar os termos constantes:
Adicionando 609 em ambos os lados:
Passo 6
Para chegar à equação canônica da hipérbole, vamos dividir todos os termos por 400:
Simplificando as frações:
Resposta
A equação dada representa uma hipérbole, e a sua equação canônica é: