Prove que a reta r: x+y-3=0 é secante à circunferência de centro C=(-2,1) e raio raiz10 nos pontos A e B. Calcule a área do triângulo A B C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a reta corta a circunferência com centro em e raio nos pontos e . Depois, vamos calcular a área do triângulo formado por esses três pontos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a distância de um ponto a uma reta e a equação de uma circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a reta d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2 realmente corta a circunferência, ou seja, se ela é uma secante. Para isso, precisamos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta . Se essa distância for menor que o raio, a reta corta a circunferência em dois pontos.
A fórmula para a distância de um ponto a uma reta é:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula com os valores da nossa reta e do centro da circunferência:
A equação da reta é d = |1*(-2) + 1*(1) - 3|raiz1^2 + 1^2 = |-2 + 1 - 3|raiz2 = |-4|raiz2 = 4raiz2 = 2raiz2 , então 2raiz2 approx 2.828 e raiz10 approx 3.162 , e .
O centro da circunferência é , então e .
Substituindo na fórmula:
Agora, comparamos com o raio .
Calculando e :
Como , a reta realmente corta a circunferência em dois pontos, ou seja, é uma secante.

Passo 4

Agora que sabemos que a reta corta a circunferência, vamos encontrar os pontos de interseção (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = (raiz10)^2 implies (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 10 e (x + 2)^2 + (3 - x - 1)^2 = 10 implies (x + 2)^2 + (2 - x)^2 = 10 . Para isso, precisamos resolver o sistema formado pela equação da reta e pela equação da circunferência.
A equação da circunferência com centro em x^2 + 4x + 4 + x^2 - 4x + 4 = 10 implies 2x^2 + 8 = 10 implies 2x^2 = 2 implies x^2 = 1 implies x = pm 1 e raio é:
A equação da reta é . Vamos substituir na equação da circunferência:
Expandindo os termos:
Então, temos dois valores para :
  • Se , então
  • Se , então

Passo 5

Agora que temos os pontos Área = 12 |(xA(yB - yC) + xB(yC - yA) + xC(yA - yB))| , Área = 12 |1(4 - 1) + (-1)(1 - 2) + (-2)(2 - 4)| = 12 |1(3) + (-1)(-1) + (-2)(-2)| = 12 |3 + 1 + 4| = 12 times 8 = 4 e , vamos calcular a área do triângulo . A fórmula da área de um triângulo com vértices em , e é:
Á
Substituindo os valores:
Á

Resposta

A área do triângulo é igual a 4 unidades de área.

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