Prove que a reta
é secante à circunferência de centro
e raio
nos pontos
e
. Calcule a área do triângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a reta
corta a circunferência com centro em
e raio
nos pontos
e
. Depois, vamos calcular a área do triângulo formado por esses três pontos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a distância de um ponto a uma reta e a equação de uma circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a reta
realmente corta a circunferência, ou seja, se ela é uma secante. Para isso, precisamos calcular a distância entre o centro da circunferência
e a reta
. Se essa distância for menor que o raio, a reta corta a circunferência em dois pontos.
A fórmula para a distância
de um ponto
a uma reta
é:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula com os valores da nossa reta e do centro da circunferência:
A equação da reta é
, então
,
e
.
O centro da circunferência é
, então
e
.
Substituindo na fórmula:
Agora, comparamos
com o raio
.
Calculando
e
:
Como
, a reta realmente corta a circunferência em dois pontos, ou seja, é uma secante.
Passo 4
Agora que sabemos que a reta corta a circunferência, vamos encontrar os pontos de interseção
e
. Para isso, precisamos resolver o sistema formado pela equação da reta e pela equação da circunferência.
A equação da circunferência com centro em
e raio
é:
A equação da reta é
. Vamos substituir
na equação da circunferência:
Expandindo os termos:
Então, temos dois valores para
:
- Se
, então → - Se
, então →
Passo 5
Agora que temos os pontos
,
e
, vamos calcular a área do triângulo
. A fórmula da área de um triângulo com vértices em
,
e
é:
Substituindo os valores:
Resposta
A área do triângulo
é igual a 4 unidades de área.
Exercícios relacionados
Considere a equação
.
Mostre que a equação acima representa uma hipérbole e encontre sua equação canônica.
Mostre que a equação acima representa uma hipérbole e encontre sua equação canônica.
Sendo
uma matriz real quadrada de ordem 3 cujo determinante é igual a 4 , qual o valor de
na equação
?
Sejam
e
matrizes reais de ordem 3, satisfazendo às seguintes relações:
e
. Se o determinante de
é 32 , determine o valor do módulo do determinante de A .