Prove que a reta é secante à circunferência de centro e raio nos pontos e . Calcule a área do triângulo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a reta corta a circunferência com centro em e raio nos pontos e . Depois, vamos calcular a área do triângulo formado por esses três pontos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a distância de um ponto a uma reta e a equação de uma circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a reta realmente corta a circunferência, ou seja, se ela é uma secante. Para isso, precisamos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta . Se essa distância for menor que o raio, a reta corta a circunferência em dois pontos.
A fórmula para a distância de um ponto a uma reta é:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula com os valores da nossa reta e do centro da circunferência:
A equação da reta é , então , e .
O centro da circunferência é , então e .
Substituindo na fórmula:
Agora, comparamos com o raio .
Calculando e :
Como , a reta realmente corta a circunferência em dois pontos, ou seja, é uma secante.

Passo 4

Agora que sabemos que a reta corta a circunferência, vamos encontrar os pontos de interseção e . Para isso, precisamos resolver o sistema formado pela equação da reta e pela equação da circunferência.
A equação da circunferência com centro em e raio é:
A equação da reta é . Vamos substituir na equação da circunferência:
Expandindo os termos:
Então, temos dois valores para :
  • Se , então
  • Se , então

Passo 5

Agora que temos os pontos , e , vamos calcular a área do triângulo . A fórmula da área de um triângulo com vértices em , e é:
Á
Substituindo os valores:
Á

Resposta

A área do triângulo é igual a 4 unidades de área.

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