Considere a equação de Bessel:
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-v^2) y=0
Classifique o ponto x0=0 e encontre a primeira solução na forma de Frobenius.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a equação de Bessel que é dada por:
x^2 y'' + x y' + (x^2 - v^2) y = 0
O que a gente precisa fazer aqui é classificar o ponto nessa equação e depois encontrar a primeira solução usando o método de Frobenius. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar o ponto P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0 . Para isso, observamos os coeficientes da equação diferencial. A equação geral de segunda ordem é:
Q(x)P(x) = xx^2 = 1x, R(x)P(x) = x^2 - v^2x^2 = 1 - v^2x^2
Comparando com a nossa equação de Bessel:
Um ponto é chamado de ponto singular se . Nesse caso, como , é um ponto singular. Para saber se é um ponto singular regular ou irregular, analisamos:
Como e , que são funções analíticas perto de , concluímos que é um ponto singular regular.

Passo 3

Agora que sabemos que y(x) = x^r sumn=0^infty an x^n é um ponto singular regular, podemos aplicar o método de Frobenius para encontrar soluções da equação. O método de Frobenius assume uma solução na forma de uma série de potências multiplicada por r(r - 1) x^r + r x^r - v^2 x^r = 0 Rightarrow r^2 - v^2 = 0 :
r = pm v
Primeiro, precisamos encontrar o indicial da equação, que determina o valor de . Substituindo na equação e considerando os menores poderes de , obtemos a equação indicial:
Resolvendo, temos:
Vamos escolher para encontrar a primeira solução.

Passo 4

Com y(x) = x^v sumn=0^infty an x^n , substituímos na série de Frobenius:
y'(x) = sumn=0^infty (n + v) an x^n + v - 1,
Agora, derivamos y''(x) = sumn=0^infty (n + v)(n + v - 1) an x^n + v - 2 para encontrar e :
Substituindo , e na equação de Bessel e igualando os coeficientes dos mesmos poderes de a zero, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes . Resolvendo essa relação, encontramos os termos da série que compõem a solução.

Resposta

A primeira solução da equação de Bessel na forma de Frobenius é:
Onde y(x) = x^v sumn=0^infty (-1)^nn! , Gamma(n + v + 1) (x2)^2n é a função gama, generalização do fatorial.

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