Considere a equação de Bessel:
Classifique o ponto
e encontre a primeira solução na forma de Frobenius.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a equação de Bessel que é dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é classificar o ponto
nessa equação e depois encontrar a primeira solução usando o método de Frobenius. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar o ponto
. Para isso, observamos os coeficientes da equação diferencial. A equação geral de segunda ordem é:
Comparando com a nossa equação de Bessel:
Um ponto
é chamado de ponto singular se
. Nesse caso, como
,
é um ponto singular. Para saber se é um ponto singular regular ou irregular, analisamos:
Como
e
, que são funções analíticas perto de
, concluímos que
é um ponto singular regular.
Passo 3
Agora que sabemos que
é um ponto singular regular, podemos aplicar o método de Frobenius para encontrar soluções da equação. O método de Frobenius assume uma solução na forma de uma série de potências multiplicada por
:
Primeiro, precisamos encontrar o indicial da equação, que determina o valor de
. Substituindo
na equação e considerando os menores poderes de
, obtemos a equação indicial:
Resolvendo, temos:
Vamos escolher
para encontrar a primeira solução.
Passo 4
Com
, substituímos na série de Frobenius:
Agora, derivamos
para encontrar
e
:
Substituindo
,
e
na equação de Bessel e igualando os coeficientes dos mesmos poderes de
a zero, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes
. Resolvendo essa relação, encontramos os termos da série que compõem a solução.
Resposta
A primeira solução da equação de Bessel na forma de Frobenius é:
Onde
é a função gama, generalização do fatorial.
Exercícios relacionados
Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
© Encontre a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius.
© Encontre a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius.
Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(e) Descreva como encontrar a segunda solução linearmente independente.
(e) Descreva como encontrar a segunda solução linearmente independente.
Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(a) Classifique o ponto .
(a) Classifique o ponto
Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(d) Resolva a relação de recorrência para encontrar a primeira solução.
(d) Resolva a relação de recorrência para encontrar a primeira solução.