Considere a equação de Bessel:
Classifique o ponto e encontre a primeira solução na forma de Frobenius.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a equação de Bessel que é dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é classificar o ponto nessa equação e depois encontrar a primeira solução usando o método de Frobenius. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar o ponto . Para isso, observamos os coeficientes da equação diferencial. A equação geral de segunda ordem é:
Comparando com a nossa equação de Bessel:
Um ponto é chamado de ponto singular se . Nesse caso, como , é um ponto singular. Para saber se é um ponto singular regular ou irregular, analisamos:
Como e , que são funções analíticas perto de , concluímos que é um ponto singular regular.

Passo 3

Agora que sabemos que é um ponto singular regular, podemos aplicar o método de Frobenius para encontrar soluções da equação. O método de Frobenius assume uma solução na forma de uma série de potências multiplicada por :
Primeiro, precisamos encontrar o indicial da equação, que determina o valor de . Substituindo na equação e considerando os menores poderes de , obtemos a equação indicial:
Resolvendo, temos:
Vamos escolher para encontrar a primeira solução.

Passo 4

Com , substituímos na série de Frobenius:
Agora, derivamos para encontrar e :
Substituindo , e na equação de Bessel e igualando os coeficientes dos mesmos poderes de a zero, obtemos uma relação de recorrência para os coeficientes . Resolvendo essa relação, encontramos os termos da série que compõem a solução.

Resposta

A primeira solução da equação de Bessel na forma de Frobenius é:
Onde é a função gama, generalização do fatorial.

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Considere a equação de Legendre:
onde está definida em . Para resolver a equação em usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
© Encontre a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius.
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onde está definida em . Para resolver a equação em usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(e) Descreva como encontrar a segunda solução linearmente independente.
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onde está definida em . Para resolver a equação em usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(a) Classifique o ponto .
Considere a equação de Legendre:
onde está definida em . Para resolver a equação em usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(d) Resolva a relação de recorrência para encontrar a primeira solução.