Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(d) Resolva a relação de recorrência para encontrar a primeira solução.
(d) Resolva a relação de recorrência para encontrar a primeira solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação de Legendre, que é uma equação diferencial importante em várias áreas da física e matemática. O enunciado pede para resolver essa equação usando o método de Frobenius no ponto
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o método de Frobenius, que é útil para encontrar soluções de equações diferenciais perto de pontos singulares. Nosso objetivo aqui é resolver a relação de recorrência para encontrar a primeira solução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Frobenius. Esse método assume que a solução da equação diferencial pode ser expressa como uma série de potências da forma:
onde
é o indício a ser determinado. No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos substituir essa série na equação de Legendre:
Para simplificar os cálculos, fazemos uma mudança de variável
, mas mantendo
, trabalharemos diretamente com
próximo a 1.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação de Legendre:
Passo 6
Simplificamos e organizamos os termos para igualar os coeficientes de cada potência de
a zero. Isso nos dará a relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 7
Após simplificar, obtemos uma relação que conecta
com
. A forma geral dessa relação de recorrência será algo como:
onde
são constantes que dependem de
e
.
Passo 8
Para encontrar a primeira solução, começamos assumindo um valor para
. Normalmente, escolhemos o menor valor possível que satisfaça a equação indicial. Após determinar
, substituímos de volta na relação de recorrência para calcular os coeficientes
.
Passo 9
Resolvendo a relação de recorrência, encontramos os coeficientes
em termos de
. Geralmente, definimos
para simplificar a expressão final da solução.
Resposta
Após resolver a relação de recorrência, a primeira solução encontrada para a equação de Legendre pelo método de Frobenius é:
onde os coeficientes
são determinados pela relação de recorrência obtida durante o processo.
Exercícios relacionados
Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(a) Classifique o ponto .
(a) Classifique o ponto
Considere a equação de Bessel:
Classifique o ponto
e encontre a primeira solução na forma de Frobenius.
Calcule o valor mais provável (v.m.p.) X e o desvio padrão
da série de valores
e anote seus resultados.
Expresse os resultados para os níveis de confiança de 99,7%, 95,5%, 68,3%, 60% e 50% em termos do desvio padrão (
).
Tabela 2.1
Tabela 2.1
|
0,500 | 0,600 | 0,683 | 0,955 | 0,997 |
---|---|---|---|---|---|
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0,670 | 0,842 | 1,000 | 2,000 | 3,000 |