Considere a equação de Legendre:
onde está definida em . Para resolver a equação em usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(a) Classifique o ponto .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você me enviou! Temos uma equação diferencial conhecida como equação de Legendre:
Essa equação está definida para no intervalo . A sua pergunta é sobre como classificar o ponto nessa equação usando o método de Frobenius. Para fazer isso, vamos precisar entender o que são pontos ordinários e pontos singulares em equações diferenciais, e como identificar se um ponto singular é regular ou irregular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma equação diferencial linear de segunda ordem, podemos escrever a equação na forma padrão:
Para a nossa equação de Legendre, vamos dividir todos os termos por para colocá-la nessa forma:
Aqui, identificamos as funções e :

Passo 3

Agora, para classificar o ponto , precisamos verificar se ele é um ponto ordinário ou um ponto singular. Um ponto é chamado de ponto ordinário se as funções e são analíticas (ou seja, não têm singularidades) em . Se pelo menos uma dessas funções não for analítica em , então é um ponto singular.

Passo 4

Vamos analisar e em :
Para , vemos que o denominador se anula em , o que faz com que tenha uma singularidade em .
Para , o denominador também se anula em , então também tem uma singularidade em .

Passo 5

Como tanto quanto têm singularidades em , isso significa que não é um ponto ordinário. Agora, precisamos determinar se é um ponto singular regular ou irregular.
Para isso, verificamos se as seguintes funções são analíticas em :
Se ambas forem analíticas em , então o ponto é um ponto singular regular; caso contrário, é um ponto singular irregular.

Passo 6

Vamos calcular:
  1. Essa expressão é bem comportada em , pois não há divisão por zero.
  2. Novamente, essa expressão é bem comportada em .

Passo 7

Como ambas as funções e são analíticas em , concluímos que é um ponto singular regular na equação de Legendre.

Resposta

O ponto é um ponto singular regular da equação de Legendre.

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Considere a equação de Bessel:
Classifique o ponto e encontre a primeira solução na forma de Frobenius.
Considere a equação de Legendre:
onde está definida em . Para resolver a equação em usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
© Encontre a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius.
Considere a equação de Legendre:
onde está definida em . Para resolver a equação em usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(d) Resolva a relação de recorrência para encontrar a primeira solução.
Calcule o valor mais provável (v.m.p.) X e o desvio padrão da série de valores e anote seus resultados.