Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(a) Classifique o ponto
.
(a) Classifique o ponto
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você me enviou! Temos uma equação diferencial conhecida como equação de Legendre:
Essa equação está definida para
no intervalo
. A sua pergunta é sobre como classificar o ponto
nessa equação usando o método de Frobenius. Para fazer isso, vamos precisar entender o que são pontos ordinários e pontos singulares em equações diferenciais, e como identificar se um ponto singular é regular ou irregular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma equação diferencial linear de segunda ordem, podemos escrever a equação na forma padrão:
Para a nossa equação de Legendre, vamos dividir todos os termos por
para colocá-la nessa forma:
Aqui, identificamos as funções
e
:
Passo 3
Agora, para classificar o ponto
, precisamos verificar se ele é um ponto ordinário ou um ponto singular. Um ponto
é chamado de ponto ordinário se as funções
e
são analíticas (ou seja, não têm singularidades) em
. Se pelo menos uma dessas funções não for analítica em
, então
é um ponto singular.
Passo 4
Vamos analisar
e
em
:
Para
, vemos que o denominador
se anula em
, o que faz com que
tenha uma singularidade em
.
Para
, o denominador também se anula em
, então
também tem uma singularidade em
.
Passo 5
Como tanto
quanto
têm singularidades em
, isso significa que
não é um ponto ordinário. Agora, precisamos determinar se é um ponto singular regular ou irregular.
Para isso, verificamos se as seguintes funções são analíticas em
:
Se ambas forem analíticas em
, então o ponto é um ponto singular regular; caso contrário, é um ponto singular irregular.
Passo 6
Vamos calcular:
-
Essa expressão é bem comportada em
, pois não há divisão por zero. -
Novamente, essa expressão é bem comportada em
.
Passo 7
Como ambas as funções
e
são analíticas em
, concluímos que
é um ponto singular regular na equação de Legendre.
Resposta
O ponto
é um ponto singular regular da equação de Legendre.
Exercícios relacionados
Considere a equação de Bessel:
Classifique o ponto
e encontre a primeira solução na forma de Frobenius.
Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
© Encontre a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius.
© Encontre a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius.
Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(d) Resolva a relação de recorrência para encontrar a primeira solução.
(d) Resolva a relação de recorrência para encontrar a primeira solução.
Calcule o valor mais provável (v.m.p.) X e o desvio padrão
da série de valores
e anote seus resultados.