Considere a equação de Legendre:
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+lambda(lambda+1) y=0
onde y(x) está definida em x in[-1,1]. Para resolver a equação em x0=1 usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(e) Descreva como encontrar a segunda solução linearmente independente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente para a equação de Legendre:
(1-x^2) y'' - 2x y' + lambda(lambda +1) y =0
Vamos usar o método de Frobenius, que é ótimo para resolver equações diferenciais com pontos singulares. Precisamos entender como obter essa segunda solução que não é apenas uma repetição da primeira.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma solução linearmente independente é outra solução que não pode ser escrita como uma constante vezes a primeira solução. Para encontrar essa segunda solução, vamos usar a técnica de redução de ordem. Isso significa que, se já temos uma solução , podemos encontrar de uma maneira específica.

Passo 3

Vamos supor que já temos a primeira solução y2(x) = y1(x) cdot integral e^-integral P(x) dxy1(x)^2 dx . A ideia é procurar a segunda solução na forma:
Aqui, é o coeficiente de na equação diferencial normalizada.

Passo 4

Vamos normalizar a equação de Legendre dividindo todos os termos por y'' - 2x1 - x^2 y' + lambda(lambda +1)1 - x^2 y =0 :
Assim, identificamos .

Passo 5

Agora, calculamos a integral de integral P(x) dx = integral -2x1 - x^2 dx = ln(1 - x^2) + C :
e^-integral P(x) dx = e^-ln(1 - x^2) = 11 - x^2
Exponenciando, temos:

Passo 6

Substituindo na fórmula da segunda solução:
y2(x) = y1(x) cdot integral 1(1 - x^2) cdot y1(x)^2 dx
Essa integral nos dará a segunda solução linearmente independente.

Passo 7

Finalmente, resolvemos a integral acima. Dependendo da forma de , isso pode envolver técnicas de integração específicas. O importante é que, ao finalizar essa integral, teremos , que não é apenas um múltiplo de , garantindo que as duas soluções sejam linearmente independentes.

Resposta

A segunda solução linearmente independente é obtida multiplicando a primeira solução y2(x) = y1(x) cdot integral 1(1 - x^2) cdot y1(x)^2 dx por uma integral específica:

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