Considere a equação de Legendre:
onde está definida em . Para resolver a equação em usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(e) Descreva como encontrar a segunda solução linearmente independente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente para a equação de Legendre:
Vamos usar o método de Frobenius, que é ótimo para resolver equações diferenciais com pontos singulares. Precisamos entender como obter essa segunda solução que não é apenas uma repetição da primeira.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma solução linearmente independente é outra solução que não pode ser escrita como uma constante vezes a primeira solução. Para encontrar essa segunda solução, vamos usar a técnica de redução de ordem. Isso significa que, se já temos uma solução , podemos encontrar de uma maneira específica.

Passo 3

Vamos supor que já temos a primeira solução . A ideia é procurar a segunda solução na forma:
Aqui, é o coeficiente de na equação diferencial normalizada.

Passo 4

Vamos normalizar a equação de Legendre dividindo todos os termos por :
Assim, identificamos .

Passo 5

Agora, calculamos a integral de :
Exponenciando, temos:

Passo 6

Substituindo na fórmula da segunda solução:
Essa integral nos dará a segunda solução linearmente independente.

Passo 7

Finalmente, resolvemos a integral acima. Dependendo da forma de , isso pode envolver técnicas de integração específicas. O importante é que, ao finalizar essa integral, teremos , que não é apenas um múltiplo de , garantindo que as duas soluções sejam linearmente independentes.

Resposta

A segunda solução linearmente independente é obtida multiplicando a primeira solução por uma integral específica:

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Considere a equação de Legendre:
onde está definida em . Para resolver a equação em usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
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Considere a equação do oscilador harmônico:
onde é uma constante real positiva. Mostre usando séries de potência que a solução geral da equação acima é dada por:
onde A e B são constantes reais.
Considere a equação de Legendre:
onde está definida em . Para resolver a equação em usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
© Encontre a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius.
Considere a equação de Bessel:
Classifique o ponto e encontre a primeira solução na forma de Frobenius.