Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(e) Descreva como encontrar a segunda solução linearmente independente.
(e) Descreva como encontrar a segunda solução linearmente independente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma segunda solução que seja linearmente independente para a equação de Legendre:
Vamos usar o método de Frobenius, que é ótimo para resolver equações diferenciais com pontos singulares. Precisamos entender como obter essa segunda solução que não é apenas uma repetição da primeira.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma solução linearmente independente é outra solução que não pode ser escrita como uma constante vezes a primeira solução. Para encontrar essa segunda solução, vamos usar a técnica de redução de ordem. Isso significa que, se já temos uma solução
, podemos encontrar
de uma maneira específica.
Passo 3
Vamos supor que já temos a primeira solução
. A ideia é procurar a segunda solução na forma:
Aqui,
é o coeficiente de
na equação diferencial normalizada.
Passo 4
Vamos normalizar a equação de Legendre dividindo todos os termos por
:
Assim, identificamos
.
Passo 5
Agora, calculamos a integral de
:
Exponenciando, temos:
Passo 6
Substituindo na fórmula da segunda solução:
Essa integral nos dará a segunda solução linearmente independente.
Passo 7
Finalmente, resolvemos a integral acima. Dependendo da forma de
, isso pode envolver técnicas de integração específicas. O importante é que, ao finalizar essa integral, teremos
, que não é apenas um múltiplo de
, garantindo que as duas soluções sejam linearmente independentes.
Resposta
A segunda solução linearmente independente é obtida multiplicando a primeira solução
por uma integral específica:
Exercícios relacionados
Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(b) Usando a série de Frobenius, encontre o polinômio indicial e suas raízes.
(b) Usando a série de Frobenius, encontre o polinômio indicial e suas raízes.
Considere a equação do oscilador harmônico:
onde
é uma constante real positiva. Mostre usando séries de potência que a solução geral da equação acima é dada por:
onde A e B são constantes reais.
Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
© Encontre a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius.
© Encontre a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius.
Considere a equação de Bessel:
Classifique o ponto
e encontre a primeira solução na forma de Frobenius.