Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
© Encontre a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius.
© Encontre a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão apresenta a equação de Legendre:
Estamos definidos para
no intervalo
e queremos resolver essa equação no ponto
usando o método de Frobenius. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius. Isso vai nos ajudar a expressar cada coeficiente em função dos anteriores, facilitando a construção da solução em série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Frobenius. Esse método é usado para encontrar soluções de equações diferenciais lineares em torno de pontos singulares, que são pontos onde os coeficientes da equação podem se tornar zero ou infinito. No nosso caso,
é um ponto singular porque
se anula em
.
A ideia é assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências de
, ou seja:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar, e
é um número que vamos descobrir para garantir que a série seja uma solução válida da equação.
Passo 3
Vamos derivar essa série para calcular
e
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação de Legendre:
Passo 5
Vamos simplificar termo a termo. Primeiro, note que
. Mas como estamos expandindo em torno de
, podemos reescrever
.
No entanto, para facilitar, vamos considerar que ao expandir
em torno de
, teremos termos em potências de
. Vamos reorganizar a equação para coletar os termos com a mesma potência de
.
Passo 6
Vamos igualar os coeficientes de cada potência de
a zero, já que a equação deve valer para todo
no intervalo. Isso vai nos dar uma relação de recorrência entre os
.
Após fazer os cálculos (que envolvem substituir as séries na equação, ajustar os índices de soma e coletar os termos semelhantes), chegamos à relação de recorrência:
Resposta
A relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius é:
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Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(e) Descreva como encontrar a segunda solução linearmente independente.
(e) Descreva como encontrar a segunda solução linearmente independente.
Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(b) Usando a série de Frobenius, encontre o polinômio indicial e suas raízes.
(b) Usando a série de Frobenius, encontre o polinômio indicial e suas raízes.
Considere a equação de Bessel:
Classifique o ponto
e encontre a primeira solução na forma de Frobenius.
Considere a equação de Legendre:
onde
está definida em
. Para resolver a equação em
usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(a) Classifique o ponto .
(a) Classifique o ponto