Considere a equação de Legendre:
onde está definida em . Para resolver a equação em usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
© Encontre a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão apresenta a equação de Legendre:
Estamos definidos para no intervalo e queremos resolver essa equação no ponto usando o método de Frobenius. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius. Isso vai nos ajudar a expressar cada coeficiente em função dos anteriores, facilitando a construção da solução em série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Frobenius. Esse método é usado para encontrar soluções de equações diferenciais lineares em torno de pontos singulares, que são pontos onde os coeficientes da equação podem se tornar zero ou infinito. No nosso caso, é um ponto singular porque se anula em .
A ideia é assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências de , ou seja:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar, e é um número que vamos descobrir para garantir que a série seja uma solução válida da equação.

Passo 3

Vamos derivar essa série para calcular e .
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação de Legendre:

Passo 5

Vamos simplificar termo a termo. Primeiro, note que . Mas como estamos expandindo em torno de , podemos reescrever .
No entanto, para facilitar, vamos considerar que ao expandir em torno de , teremos termos em potências de . Vamos reorganizar a equação para coletar os termos com a mesma potência de .

Passo 6

Vamos igualar os coeficientes de cada potência de a zero, já que a equação deve valer para todo no intervalo. Isso vai nos dar uma relação de recorrência entre os .
Após fazer os cálculos (que envolvem substituir as séries na equação, ajustar os índices de soma e coletar os termos semelhantes), chegamos à relação de recorrência:

Resposta

A relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius é:

Exercícios relacionados

Considere a equação de Legendre:
onde está definida em . Para resolver a equação em usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(e) Descreva como encontrar a segunda solução linearmente independente.
Considere a equação de Legendre:
onde está definida em . Para resolver a equação em usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(b) Usando a série de Frobenius, encontre o polinômio indicial e suas raízes.
Considere a equação de Bessel:
Classifique o ponto e encontre a primeira solução na forma de Frobenius.
Considere a equação de Legendre:
onde está definida em . Para resolver a equação em usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(a) Classifique o ponto .