Considere a equação de Legendre:
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+lambda(lambda+1) y=0
onde y(x) está definida em x in[-1,1]. Para resolver a equação em x0=1 usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
© Encontre a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão apresenta a equação de Legendre:
(1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+lambda(lambda+1) y=0
Estamos definidos para no intervalo e queremos resolver essa equação no ponto usando o método de Frobenius. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius. Isso vai nos ajudar a expressar cada coeficiente em função dos anteriores, facilitando a construção da solução em série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Frobenius. Esse método é usado para encontrar soluções de equações diferenciais lineares em torno de pontos singulares, que são pontos onde os coeficientes da equação podem se tornar zero ou infinito. No nosso caso, y(x) = sumn=0^infty an (x - 1)^n + s é um ponto singular porque se anula em .
A ideia é assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências de , ou seja:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar, e é um número que vamos descobrir para garantir que a série seja uma solução válida da equação.

Passo 3

Vamos derivar essa série para calcular y'(x) = sumn=0^infty an (n + s) (x - 1)^n + s - 1 e y''(x) = sumn=0^infty an (n + s)(n + s - 1) (x - 1)^n + s - 2 .
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Agora, substituímos (1 - x^2) sumn=0^infty an (n + s)(n + s - 1) (x - 1)^n + s - 2 - 2x sumn=0^infty an (n + s) (x - 1)^n + s - 1 + lambda(lambda + 1) sumn=0^infty an (x - 1)^n + s = 0 , e na equação de Legendre:

Passo 5

Vamos simplificar termo a termo. Primeiro, note que . Mas como estamos expandindo em torno de , podemos reescrever .
No entanto, para facilitar, vamos considerar que ao expandir em torno de , teremos termos em potências de . Vamos reorganizar a equação para coletar os termos com a mesma potência de .

Passo 6

Vamos igualar os coeficientes de cada potência de an+2 = (2n + 2s + 1) an+1 - lambda(lambda + 1) an(n + s + 2)(n + s + 1) a zero, já que a equação deve valer para todo no intervalo. Isso vai nos dar uma relação de recorrência entre os .
Após fazer os cálculos (que envolvem substituir as séries na equação, ajustar os índices de soma e coletar os termos semelhantes), chegamos à relação de recorrência:

Resposta

A relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius é:
an+2 = (2n + 2s + 1) an+1 - lambda(lambda + 1) an(n + s + 2)(n + s + 1)

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