Considere a equação cartesiana (equação em coordenadas cartesiana) de uma curva
:
Determine uma equação polar para curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a equação da curva
, que está em coordenadas cartesianas (
), para uma equação em coordenadas polares. Basicamente, vamos usar as relações entre coordenadas cartesianas e polares para fazer essa conversão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das relações entre coordenadas cartesianas
e polares
. Elas são dadas por:
Essas fórmulas nos ajudam a substituir
e
em termos de
e
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação original
usando as relações que acabamos de lembrar:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, distribuímos o 2:
Passo 5
Agora, queremos isolar o
. Vamos trazer todos os termos que contêm
para um lado da equação:
Passo 6
Fatoramos o
na expressão da esquerda:
Passo 7
Finalmente, isolamos o
dividindo ambos os lados da equação por
:
Resposta
A equação polar da curva
é:
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Considere a equação polar (equação em coordenadas polares) de uma curva
:
Determine a equação cartesiana de
.
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada
:
Então, encontre a área delimitada pela curva
e o eixo
.
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada
:
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
.
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada
:
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
.