Considere a equação cartesiana (equação em coordenadas cartesiana) de uma curva :
Determine uma equação polar para curva .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a equação da curva , que está em coordenadas cartesianas ( ), para uma equação em coordenadas polares. Basicamente, vamos usar as relações entre coordenadas cartesianas e polares para fazer essa conversão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das relações entre coordenadas cartesianas e polares . Elas são dadas por:
Essas fórmulas nos ajudam a substituir e em termos de e .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação original usando as relações que acabamos de lembrar:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, distribuímos o 2:

Passo 5

Agora, queremos isolar o . Vamos trazer todos os termos que contêm para um lado da equação:

Passo 6

Fatoramos o na expressão da esquerda:

Passo 7

Finalmente, isolamos o dividindo ambos os lados da equação por :

Resposta

A equação polar da curva é:

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Considere a equação polar (equação em coordenadas polares) de uma curva :
Determine a equação cartesiana de .
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área delimitada pela curva e o eixo .
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo .
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo .