Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a área da superfície que é gerada quando a curva parametrizada é girada em torno do eixo . A curva é definida pelas equações paramétricas:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente de integração para calcular áreas de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície de revolução quando a curva é dada parametrizada de . A fórmula geral é:
Aqui, é a função que está sendo girada ao redor do eixo , e é o elemento de comprimento da curva.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão dentro da raiz:
Já que .

Passo 4

Substituindo de volta na fórmula da área:
Agora, vamos resolver a integral. Podemos fazer uma substituição simples:
Deixe , então . Quando , ; quando , .
Então, a integral fica:

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo é unidades de área.

Exercícios relacionados

Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo .
Considere a equação cartesiana (equação em coordenadas cartesiana) de uma curva :
Determine uma equação polar para curva .
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo .
Verifique se a função é solução da equação diferencial.