Considere as equações paramétricas da curva parametrizada
:
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a área da superfície que é gerada quando a curva parametrizada
é girada em torno do eixo
. A curva
é definida pelas equações paramétricas:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente de integração para calcular áreas de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície de revolução quando a curva é dada parametrizada de
. A fórmula geral é:
Aqui,
é a função que está sendo girada ao redor do eixo
, e
é o elemento de comprimento da curva.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão dentro da raiz:
Já que
.
Passo 4
Substituindo de volta na fórmula da área:
Agora, vamos resolver a integral. Podemos fazer uma substituição simples:
Deixe , então
. Quando
,
; quando
,
.
Então, a integral fica:
Deixe
Então, a integral fica:
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
é
unidades de área.
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:
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
.
Considere a equação cartesiana (equação em coordenadas cartesiana) de uma curva
:
Determine uma equação polar para curva
.
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada
:
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
.
Verifique se a função
é solução da equação diferencial.