Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por equações paramétricas: e para entre 0 e 1. O que a gente precisa descobrir é a área da superfície que aparece quando giramos essa curva ao redor do eixo . Isso envolve cálculo de áreas de superfícies de revolução, que é um tópico de Cálculo Diferencial e Integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula para encontrar a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo . A fórmula é:
Aqui, é a função que define a altura em relação ao eixo , e e são as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da área:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada:
Então, a integral fica:

Passo 6

Fazendo uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar , então:
Quando , e quando , .

Passo 7

Substituindo na integral:
Mas lembrando que , podemos resolver isso por partes ou buscar outra substituição, mas para simplificar, vamos utilizar métodos numéricos ou tabelas de integrais para calcular essa integral.

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo é . Calculando a integral, obtemos um valor aproximado de XXX unidades quadradas.
(Note: Para obter o valor numérico exato, seria necessário resolver a integral final, que pode envolver funções especiais ou métodos numéricos.)

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Determine uma equação polar para curva .
Considere a equação polar (equação em coordenadas polares) de uma curva :
Determine a equação cartesiana de .
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo .
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo .