Considere a equação polar (equação em coordenadas polares) de uma curva
:
Determine a equação cartesiana de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação polar de uma curva
dada por
onde
pode ser qualquer número real. Nosso objetivo é converter essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar usar as relações entre coordenadas polares e cartesianas.
Passo 2
Nas coordenadas polares,
representa a distância do ponto até a origem, e
o ângulo em relação ao eixo positivo
. Para converter para coordenadas cartesianas
, usamos as seguintes relações:
Passo 3
Substituindo
nessas equações, temos:
Passo 4
Queremos eliminar o
para obter uma equação só em
e
. Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Dividindo os dois lados por
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Resposta
A equação cartesiana de
é
.
Exercícios relacionados
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada
:
Então, encontre a área delimitada pela curva
e o eixo
.
Considere as equações paramétricas da elipse
com centro na origem
:
onde
.
Calcule o comprimento de utilizando as equações paramétricas fornecidas.
Calcule o comprimento de
Considere a equação cartesiana (equação em coordenadas cartesiana) de uma curva
:
Determine uma equação polar para curva
.
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada
:
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
.