Considere a equação polar (equação em coordenadas polares) de uma curva :
Determine a equação cartesiana de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação polar de uma curva dada por onde pode ser qualquer número real. Nosso objetivo é converter essa equação para o sistema de coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar usar as relações entre coordenadas polares e cartesianas.

Passo 2

Nas coordenadas polares, representa a distância do ponto até a origem, e o ângulo em relação ao eixo positivo . Para converter para coordenadas cartesianas , usamos as seguintes relações:

Passo 3

Substituindo nessas equações, temos:

Passo 4

Queremos eliminar o para obter uma equação só em e . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Dividindo os dois lados por , temos:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Resposta

A equação cartesiana de é .

Exercícios relacionados

Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área delimitada pela curva e o eixo .
Considere as equações paramétricas da elipse com centro na origem :
onde .
Calcule o comprimento de utilizando as equações paramétricas fornecidas.
Considere a equação cartesiana (equação em coordenadas cartesiana) de uma curva :
Determine uma equação polar para curva .
Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo .