Considere as equações paramétricas da curva parametrizada C :
x(t)=1+e^t e y(t)=t-t^2
Então, encontre a área delimitada pela curva C e o eixo x.

Passo 1

Resumindo o exercício: precisamos encontrar a área delimitada pela curva parametrizada , dada por e , e o eixo . Vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente integração de funções parametrizadas, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a curva cruza o eixo . Isso ocorre quando . Então, precisamos resolver a equação .

Passo 3

Resolvendo :
Portanto, as soluções são e .

Passo 4

Agora, sabemos que a curva cruza o eixo nos valores de e . Para encontrar a área delimitada por e o eixo , vamos integrar a função em relação a entre esses dois valores de .

Passo 5

A fórmula para a área de uma curva parametrizada é:
Onde e .

Passo 6

Primeiro, vamos calcular :

Passo 7

Agora, substituindo e na fórmula da área:

Passo 8

Para resolver essa integral, vamos utilizar a técnica de integração por partes, onde escolhemos e .
Primeiro, calculamos e :

Passo 9

Aplicando a integração por partes:
Substituindo:

Passo 10

Calculando o termo :
Para :
Para :
Então,

Passo 11

Agora, resta calcular a integral:
Vamos separar a integral:

Passo 12

Primeiro, resolvemos :
Então,

Passo 13

Agora, resolvemos usando integração por partes novamente.
Escolha , então .
Escolha , então .
Aplicando integração por partes:
Portanto,

Passo 14

Substituindo os resultados na expressão original:

Resposta

A área delimitada pela curva e o eixo é unidades de área.

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