Considere as equações paramétricas da curva parametrizada :
Então, encontre a área delimitada pela curva e o eixo .
Passo 1
Resumindo o exercício: precisamos encontrar a área delimitada pela curva parametrizada , dada por e , e o eixo . Vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente integração de funções parametrizadas, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a curva cruza o eixo . Isso ocorre quando . Então, precisamos resolver a equação .
Passo 3
Resolvendo :
Portanto, as soluções são e .
Passo 4
Agora, sabemos que a curva cruza o eixo nos valores de e . Para encontrar a área delimitada por e o eixo , vamos integrar a função em relação a entre esses dois valores de .
Passo 5
A fórmula para a área de uma curva parametrizada é:
Onde e .
Passo 6
Primeiro, vamos calcular :
Passo 7
Agora, substituindo e na fórmula da área:
Passo 8
Para resolver essa integral, vamos utilizar a técnica de integração por partes, onde escolhemos e .
Primeiro, calculamos e :
Passo 9
Aplicando a integração por partes:
Substituindo:
Passo 10
Calculando o termo :
Para :
Para :
Então,
Passo 11
Agora, resta calcular a integral:
Vamos separar a integral:
Passo 12
Primeiro, resolvemos :
Então,
Passo 13
Agora, resolvemos usando integração por partes novamente.
Escolha , então .
Escolha , então .
Aplicando integração por partes:
Portanto,
Passo 14
Substituindo os resultados na expressão original:
Resposta
A área delimitada pela curva e o eixo é unidades de área.