Considere a equação da cônica .
a) escreva a equação na forma matricial ( 0,5 pontos)

Passo 1

Então, a gente tem a equação de uma cônica que é . O assunto aqui é geometria analítica, especificamente sobre como representar uma cônica usando matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar uma equação quadrática em forma matricial, envolvendo matrizes para os termos quadráticos e lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes de cada termo na equação dada:
  • Termos quadráticos: , e .
  • Termos lineares: e .
  • Termo constante: .
Em forma matricial, uma equação de segundo grau pode ser escrita como:
Onde:
  • é o vetor das variáveis, ou seja, .
  • é uma matriz simétrica que contém os coeficientes dos termos quadráticos.
  • é o vetor dos coeficientes lineares.
  • é o termo constante.

Passo 3

Vamos construir a matriz . Como a matriz precisa ser simétrica, os coeficientes de e devem ser iguais. Na nossa equação, o coeficiente de é . Portanto, colocamos em cada posição simétrica da matriz :
Aqui, os diagonais correspondem aos coeficientes de e , respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos montar o vetor com os coeficientes lineares de e :
E o termo constante é simplesmente .

Passo 5

Com todos os elementos identificados, podemos escrever a equação na forma matricial:
Isso representa a mesma equação da cônica que começamos, mas agora organizada de forma matricial.

Resposta

A equação na forma matricial é:

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