Considere a equação da cônica
.
a) escreva a equação na forma matricial ( 0,5 pontos)
a) escreva a equação na forma matricial ( 0,5 pontos)
Passo 1
Então, a gente tem a equação de uma cônica que é
. O assunto aqui é geometria analítica, especificamente sobre como representar uma cônica usando matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar uma equação quadrática em forma matricial, envolvendo matrizes para os termos quadráticos e lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes de cada termo na equação dada:
- Termos quadráticos:
, e . - Termos lineares:
e . - Termo constante:
.
Em forma matricial, uma equação de segundo grau pode ser escrita como:
Onde:
-
é o vetor das variáveis, ou seja, . -
é uma matriz simétrica que contém os coeficientes dos termos quadráticos. -
é o vetor dos coeficientes lineares. -
é o termo constante.
Passo 3
Vamos construir a matriz
. Como a matriz precisa ser simétrica, os coeficientes de
e
devem ser iguais. Na nossa equação, o coeficiente de
é
. Portanto, colocamos
em cada posição simétrica da matriz
:
Aqui, os diagonais correspondem aos coeficientes de
e
, respectivamente.
Passo 4
Agora, vamos montar o vetor
com os coeficientes lineares de
e
:
E o termo constante é simplesmente
.
Passo 5
Com todos os elementos identificados, podemos escrever a equação na forma matricial:
Isso representa a mesma equação da cônica que começamos, mas agora organizada de forma matricial.
Resposta
A equação na forma matricial é: