Considere a equação da cônica x^2+y^2-2 x y+4 x+4 y-4=0.
a) escreva a equação na forma matricial ( 0,5 pontos)

Passo 1

Então, a gente tem a equação de uma cônica que é x^2 + y^2 - 2xy + 4x + 4y - 4 = 0. O assunto aqui é geometria analítica, especificamente sobre como representar uma cônica usando matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar uma equação quadrática em forma matricial, envolvendo matrizes para os termos quadráticos e lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes de cada termo na equação dada:
  • Termos quadráticos: x^2, y^2 e -2xy.
  • Termos lineares: 4x e 4y.
  • Termo constante: -4.
Em forma matricial, uma equação de segundo grau pode ser escrita como:
x^T A x + B^T x + C = 0
Onde:
  • x é o vetor das variáveis, ou seja, x y .
  • A é uma matriz simétrica que contém os coeficientes dos termos quadráticos.
  • B é o vetor dos coeficientes lineares.
  • C é o termo constante.

Passo 3

Vamos construir a matriz A. Como a matriz precisa ser simétrica, os coeficientes de xy e yx devem ser iguais. Na nossa equação, o coeficiente de xy é -2. Portanto, colocamos -1 em cada posição simétrica da matriz A:
A = 1 & -1 -1 & 1
Aqui, os diagonais correspondem aos coeficientes de x^2 e y^2, respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos montar o vetor B com os coeficientes lineares de x e y:
B = 4 4
E o termo constante é simplesmente C = -4.

Passo 5

Com todos os elementos identificados, podemos escrever a equação na forma matricial:
x & y 1 & -1 -1 & 1 x y + 4 & 4 x y - 4 = 0
Isso representa a mesma equação da cônica que começamos, mas agora organizada de forma matricial.

Resposta

A equação na forma matricial é:
x & y 1 & -1 -1 & 1 x y + 4 & 4 x y - 4 = 0

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