Considere a equação da cônica .
a) escreva a equação na forma matricial ( 0,5 pontos)
Passo 1
Então, a gente tem a equação de uma cônica que é . O assunto aqui é geometria analítica, especificamente sobre como representar uma cônica usando matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar uma equação quadrática em forma matricial, envolvendo matrizes para os termos quadráticos e lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes de cada termo na equação dada:
Termos quadráticos: , e .
Termos lineares: e .
Termo constante: .
Em forma matricial, uma equação de segundo grau pode ser escrita como:
Onde:
é o vetor das variáveis, ou seja, .
é uma matriz simétrica que contém os coeficientes dos termos quadráticos.
é o vetor dos coeficientes lineares.
é o termo constante.
Passo 3
Vamos construir a matriz . Como a matriz precisa ser simétrica, os coeficientes de e devem ser iguais. Na nossa equação, o coeficiente de é . Portanto, colocamos em cada posição simétrica da matriz :
Aqui, os diagonais correspondem aos coeficientes de e , respectivamente.
Passo 4
Agora, vamos montar o vetor com os coeficientes lineares de e :
E o termo constante é simplesmente .
Passo 5
Com todos os elementos identificados, podemos escrever a equação na forma matricial:
Isso representa a mesma equação da cônica que começamos, mas agora organizada de forma matricial.