Prove que
1-x^n+11-x=1+x+x^2+cdots+x^n
para todo x neq 1.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: precisamos provar que, para qualquer número 1 - x^n+11 - x = 1 + x + x^2 + cdots + x^n diferente de 1,
Isso envolve conceitos de progressões geométricas e álgebra básica. Para resolver, vamos explorar como somar uma sequência geométrica e manipular a expressão dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma progressão geométrica. É uma sequência de termos onde cada termo após o primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. No caso, nossa sequência é , onde a razão é .

Passo 3

Sabemos que a soma de uma progressão geométrica finita pode ser calculada pela fórmula:
S = a(r^n+1 - 1)r - 1
Onde:
  • é a soma dos termos,
  • é o primeiro termo,
  • é a razão,
  • é o número de termos menos um.

Passo 4

No nosso caso, o primeiro termo S = 1(x^n+1 - 1)x - 1 , a razão , e temos termos (de a ). Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 5

Rearranjando a expressão para ficar mais semelhante à que queremos provar, multiplicamos numerador e denominador por S = 1 - x^n+11 - x :
1 - x^n+11 - x = 1 + x + x^2 + cdots + x^n
Assim, temos:

Resposta

Portanto, provamos que para todo 1 - x^n+11 - x = 1 + x + x^2 + cdots + x^n ,

Exercícios relacionados