Prove que
para todo
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: precisamos provar que, para qualquer número
diferente de 1,
Isso envolve conceitos de progressões geométricas e álgebra básica. Para resolver, vamos explorar como somar uma sequência geométrica e manipular a expressão dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma progressão geométrica. É uma sequência de termos onde cada termo após o primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. No caso, nossa sequência é
, onde a razão é
.
Passo 3
Sabemos que a soma de uma progressão geométrica finita pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
-
é a soma dos termos, -
é o primeiro termo, -
é a razão, -
é o número de termos menos um.
Passo 4
No nosso caso, o primeiro termo
, a razão
, e temos
termos (de
a
). Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 5
Rearranjando a expressão para ficar mais semelhante à que queremos provar, multiplicamos numerador e denominador por
:
Assim, temos:
Resposta
Portanto, provamos que para todo
,