Quais das transformações abaixo são lineares?
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O exercício pede para a gente descobrir se a transformação definida por é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
Adição:
Homogeneidade:
Além disso, uma característica importante é que , ou seja, o vetor zero deve ser mapeado para ele mesmo.
Passo 3
Vamos testar a primeira propriedade, a adição. Seja e .
Calculando :
Agora, calculando :
Comparando as duas expressões, vemos que:
A menos que e , o que não garante igualdade nas outras componentes.
Passo 4
Vamos agora verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja um escalar qualquer e .
Calculando :
Calculando :
Novamente, comparando as duas expressões:
A menos que e , o que não é verdadeiro para valores gerais de , e .
Passo 5
Além disso, vamos verificar o que acontece com o vetor zero. Se , então:
Isso já viola uma das propriedades fundamentais de transformações lineares.