Quais das transformações abaixo são lineares?
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O exercício pede para a gente descobrir se a transformação definida por é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Além disso, uma característica importante é que , ou seja, o vetor zero deve ser mapeado para ele mesmo.

Passo 3

Vamos testar a primeira propriedade, a adição. Seja e .
Calculando :
Agora, calculando :
Comparando as duas expressões, vemos que:
A menos que e , o que não garante igualdade nas outras componentes.

Passo 4

Vamos agora verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja um escalar qualquer e .
Calculando :
Calculando :
Novamente, comparando as duas expressões:
A menos que e , o que não é verdadeiro para valores gerais de , e .

Passo 5

Além disso, vamos verificar o que acontece com o vetor zero. Se , então:
Isso já viola uma das propriedades fundamentais de transformações lineares.

Resposta

A transformação não é linear.

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(l)
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(n)