Quais das transformações abaixo são lineares?
(a) T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(z, 2^y, 2^z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O exercício pede para a gente descobrir se a transformação definida por é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Além disso, uma característica importante é que , ou seja, o vetor zero deve ser mapeado para ele mesmo.

Passo 3

Vamos testar a primeira propriedade, a adição. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (z1 + z2, 2^y1 + y2, 2^z1 + z2) e T(u) + T(v) = (z1, 2^y1, 2^z1) + (z2, 2^y2, 2^z2) = (z1 + z2, 2^y1 + 2^y2, 2^z1 + 2^z2) .
Calculando (z1 + z2, 2^y1 + y2, 2^z1 + z2) neq (z1 + z2, 2^y1 + 2^y2, 2^z1 + 2^z2) :
Agora, calculando :
Comparando as duas expressões, vemos que:
A menos que e , o que não garante igualdade nas outras componentes.

Passo 4

Vamos agora verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cz, 2^cy, 2^cz) um escalar qualquer e cT(u) = c(z, 2^y, 2^z) = (cz, c cdot 2^y, c cdot 2^z) .
Calculando (cz, 2^cy, 2^cz) neq (cz, c cdot 2^y, c cdot 2^z) :
Calculando :
Novamente, comparando as duas expressões:
A menos que e , o que não é verdadeiro para valores gerais de , e .

Passo 5

Além disso, vamos verificar o que acontece com o vetor zero. Se T(0) = (0, 2^0, 2^0) = (0, 1, 1) neq 0 , então:
Isso já viola uma das propriedades fundamentais de transformações lineares.

Resposta

A transformação não é linear.

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