Quais das transformações abaixo são lineares?
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O exercício pede para a gente descobrir se a transformação
definida por
é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
e qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade:
Além disso, uma característica importante é que
, ou seja, o vetor zero deve ser mapeado para ele mesmo.
Passo 3
Vamos testar a primeira propriedade, a adição. Seja
e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Comparando as duas expressões, vemos que:
A menos que
e
, o que não garante igualdade nas outras componentes.
Passo 4
Vamos agora verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja
um escalar qualquer e
.
Calculando
:
Calculando
:
Novamente, comparando as duas expressões:
A menos que
e
, o que não é verdadeiro para valores gerais de
,
e
.
Passo 5
Além disso, vamos verificar o que acontece com o vetor zero. Se
, então:
Isso já viola uma das propriedades fundamentais de transformações lineares.
Resposta
A transformação
não é linear.