Considere o sitema linear lx+y+3 z=2 x+2 y+4 z=3 x+3 y+a z=b. Para que valores de a e b o sistema é impossível?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que tem três equações com três incógnitas: , e . A questão pede pra gente descobrir para quais valores de e o sistema não tem solução, ou seja, quando ele é impossível. Vamos precisar usar um pouco de álgebra linear, principalmente manipulação de equações para ver quando não dá pra resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema novamente pra ficar mais fácil de visualizar:
x + y + 3z = 2 x + 2y + 4z = 3 x + 3y + a z = b

Passo 3

A ideia é eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos tentar eliminar (x + 2y + 4z) - (x + y + 3z) = 3 - 2 x - x + 2y - y + 4z - 3z = 1 y + z = 1 (Equação 4) . Para isso, vamos subtrair a primeira equação da segunda e da terceira.
Subtraindo a 1ª da 2ª:
(x + 3y + a z) - (x + y + 3z) = b - 2 x - x + 3y - y + a z - 3z = b - 2 2y + (a - 3)z = b - 2 (Equação 5) çã
Subtraindo a 1ª da 3ª:
çã

Passo 4

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
y + z = 1 (Equação 4) 2y + (a - 3)z = b - 2 (Equação 5) çãçã
Podemos resolver a Equação 4 para y = 1 - z :

Passo 5

Substituímos 2(1 - z) + (a - 3)z = b - 2 2 - 2z + (a - 3)z = b - 2 na Equação 5:
2 + [(-2) + (a - 3)]z = b - 2 2 + (a - 5)z = b - 2
Agora, vamos agrupar os termos com :

Passo 6

Vamos isolar (a - 5)z = (b - 2) - 2 (a - 5)z = b - 4 :
z = b - 4a - 5
Então,

Passo 7

Agora, para que o sistema seja impossível, a gente precisa que a solução chegue a uma contradição, ou seja, que não possa existir um valor real de a - 5 = 0 e b - 4 neq 0 . Isso acontece quando o denominador for zero e o numerador for diferente de zero.
Então:

Passo 8

Resolvendo a = 5 :
b neq 4
E temos que , ou seja:

Resposta

O sistema é impossível quando e .

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