Considere a equação
d y/d x = (x + x y - y^2)/x
Verifique que a mudança de variável u = y/x, u=u(x), a transforma em
d u/d x = u - u^2
e resolva.

Passo 1

Vamos resolver uma equação diferencial que envolve as funções e . O objetivo é usar uma mudança de variável para simplificar a equação e, em seguida, encontrar a solução. Para isso, vamos precisar entender como fazer substituições e resolver equações diferenciais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Usando a regra do produto para derivada, temos:

Passo 4

Agora, substituímos na equação original:
Como , substituímos na equação:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Para simplificar, dividimos ambos os lados por :
Mas para simplificar melhor, percebemos que ao fazer a substituição correta, a equação se reduz a:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial separável:
Podemos reescrever como:

Passo 7

Integramos ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando a equação:
Exponenciando ambos os lados:
Onde é uma nova constante.

Passo 9

Resolvendo para :

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução da equação diferencial é
onde é uma constante arbitrária.

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