Considere a equação
Verifique que a mudança de variável
, a transforma em
e resolva.
Passo 1
Vamos resolver uma equação diferencial que envolve as funções
e
. O objetivo é usar uma mudança de variável para simplificar a equação e, em seguida, encontrar a solução. Para isso, vamos precisar entender como fazer substituições e resolver equações diferenciais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Usando a regra do produto para derivada, temos:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação original:
Como
, substituímos na equação:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Para simplificar, dividimos ambos os lados por
:
Mas para simplificar melhor, percebemos que ao fazer a substituição correta, a equação se reduz a:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial separável:
Podemos reescrever como:
Passo 7
Integramos ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Simplificando a equação:
Exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma nova constante.
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária.
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Resolva.
Resolva.