Resolva. d x/d t = x + sen t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, mais especificamente uma equação linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e integrar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação linear: . No nosso caso, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( ). O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada exata.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para , então temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral . Podemos usar a técnica de integração por partes ou reconhecer que esta integral padrão é:
Neste caso, e , então:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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