Resolva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, mais especificamente uma equação linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e integrar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação linear:
. No nosso caso, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
). O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada exata.
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
, então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral
. Podemos usar a técnica de integração por partes ou reconhecer que esta integral padrão é:
Neste caso,
e
, então:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.