Resolva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial
. Isso está ligado ao conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente nas equações separáveis. Vamos precisar entender como separar as variáveis para encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa equação é do tipo separável. Isso significa que conseguimos organizar os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Assim, reescrevemos a equação como:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções primitivas que, quando derivadas, dão os lados correspondentes da equação.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Para essa integral, podemos fazer uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos simplificar os termos de constantes combinando
em uma nova constante
:
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Sabemos que
é apenas uma constante, que podemos chamar de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Verifique que a mudança de variável
, a transforma em
e resolva.
Resolva.
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tal que
.