Resolva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial . Isso está ligado ao conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente nas equações separáveis. Vamos precisar entender como separar as variáveis para encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa equação é do tipo separável. Isso significa que conseguimos organizar os termos com de um lado e os termos com do outro. Assim, reescrevemos a equação como:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as funções primitivas que, quando derivadas, dão os lados correspondentes da equação.
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Para essa integral, podemos fazer uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos simplificar os termos de constantes combinando em uma nova constante :

Passo 5

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Sabemos que é apenas uma constante, que podemos chamar de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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Verifique que a mudança de variável , a transforma em
e resolva.
Resolva.
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