Resolva. $\frac{d x}{d t}=x \sin t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma equação separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e em lados diferentes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Queremos ter tudo que envolve de um lado e tudo que envolve do outro. Começamos dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos reescrever como . Isso facilita a integração de ambos os lados:

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados da equação:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Para isolar , podemos exponentiar ambos os lados da equação:
Como é apenas uma constante positiva, podemos renomeá-la como . Assim:
Podemos remover o valor absoluto considerando que pode ser positivo ou negativo:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Resolva. $\frac{d x}{d t}=2 x-1
Resolva. $\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x^{2}-1},-1<x<1
Considere a equação
Verifique que a mudança de variável , a transforma em
e resolva.
Resolva.