Resolva. $\frac{d x}{d t}=x \sin t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma equação separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis x e t em lados diferentes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Queremos ter tudo que envolve x de um lado e tudo que envolve t do outro. Começamos dividindo ambos os lados por x:

Passo 3

Agora, vamos reescrever como . Isso facilita a integração de ambos os lados:

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados da equação:
A integral de 1/x em relação a x é , e a integral de em relação a t é . Então:
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para isolar x, podemos exponentiar ambos os lados da equação:
Como é apenas uma constante positiva, podemos renomeá-la como . Assim:
Podemos remover o valor absoluto considerando que K pode ser positivo ou negativo:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde K é uma constante real.

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