Resolva. $\frac{d x}{d t}=x \sin t
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma equação separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Queremos ter tudo que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos reescrever
como
. Isso facilita a integração de ambos os lados:
Passo 4
Em seguida, integramos ambos os lados da equação:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para isolar
, podemos exponentiar ambos os lados da equação:
Como
é apenas uma constante positiva, podemos renomeá-la como
. Assim:
Podemos remover o valor absoluto considerando que
pode ser positivo ou negativo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.