Considere a equação
(a) Verifique que esta é uma EDO de primeira ordem não-linear, não separável e que também não é do tipo Bernoulli.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a equação diferencial ordinária (EDO):
Queremos verificar se essa EDO é de primeira ordem, não-linear, não separável e que não é do tipo Bernoulli. Para isso, vamos revisar alguns conceitos básicos:
  • Primeira ordem: A equação envolve apenas a primeira derivada de em relação a .
  • Linearidade: Uma EDO é linear se puder ser escrita na forma .
  • Separável: A equação pode ser rearranjada de forma que todas as expressões envolvendo fiquem de um lado e as envolvendo fiquem do outro.
  • Equação de Bernoulli: Tem a forma , onde é um número real.

Passo 2

Vamos verificar se a EDO é de primeira ordem. Observamos que a equação envolve apenas a primeira derivada , então ela é de primeira ordem.

Passo 3

Agora, vamos verificar a linearidade. Para isso, precisamos ver se a equação pode ser escrita na forma .
Rearranjando a EDO dada:
Podemos tentar simplificar a fração:
Isso não se encaixa na forma linear padrão, já que está presente de forma não linear na fração.

Passo 4

Vamos verificar se a EDO é separável. Uma equação é separável se podemos escrever .
No nosso caso:
A presença de e misturados tanto no numerador quanto no denominador impede separar as variáveis e de forma multiplicativa.

Passo 5

Por fim, vamos verificar se a EDO é do tipo Bernoulli. A forma padrão de uma equação de Bernoulli é:
Tentando adaptar nossa EDO para essa forma:
Já vimos que a presença de na fração torna difícil encaixar essa equação na forma de Bernoulli, pois não conseguimos isolar termos de elevados a alguma potência específica.

Resposta

Portanto, a EDO dada é de primeira ordem, não-linear, não separável e não é do tipo Bernoulli.

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© Qual o significado do parâmetro ?
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
3. .
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.