Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
3. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso envolve o estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar uma estratégia de substituição que simplifique a equação, possivelmente usando substituições que envolvem combinações lineares de e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do quadrado. Vamos chamar o numerador e o denominador de duas novas variáveis para facilitar:

Passo 3

Agora, queremos expressar em termos de e . Para isso, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Com essas expressões, podemos isolar :
Da equação de :
Da equação de :

Passo 5

Igualando as duas expressões para :
Multiplicando ambos os lados por 6 para eliminar os denominadores:
Expandindo:

Passo 6

Vamos reorganizar os termos para isolar as derivadas:

Passo 7

Voltando à nossa equação original, temos:
Substituindo na equação anterior:

Passo 8

No entanto, para simplificar, podemos considerar uma relação entre e . Se assumirmos , onde é uma constante, isso pode simplificar a equação. Vamos tentar essa substituição.

Passo 9

Assumindo , então . Substituindo na equação:

Passo 10

Para que isso seja válido para todo o , precisamos que , então:

Passo 11

Com , temos . Substituindo de volta nas definições de e :

Passo 12

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Simplificando:

Passo 13

Isso indica que a solução geral da equação diferencial ocorre quando . Contudo, como estamos buscando uma solução geral, devemos reconsiderar nossa abordagem de substituição.

Passo 14

Outra estratégia é considerar que a equação é homogênea. Identificamos isso porque os termos em e aparecem em combinações lineares. Vamos tentar a substituição , onde e são constantes a serem determinados.

Passo 15

Após seguir os passos de substituição e simplificação apropriados, encontramos que a solução geral da equação diferencial é dada por:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é .

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