Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
3.
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3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso envolve o estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar uma estratégia de substituição que simplifique a equação, possivelmente usando substituições que envolvem combinações lineares de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do quadrado. Vamos chamar o numerador e o denominador de duas novas variáveis para facilitar:
Passo 3
Agora, queremos expressar
em termos de
e
. Para isso, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Com essas expressões, podemos isolar
:
Da equação de
:
Da equação de
:
Passo 5
Igualando as duas expressões para
:
Multiplicando ambos os lados por 6 para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Passo 6
Vamos reorganizar os termos para isolar as derivadas:
Passo 7
Voltando à nossa equação original, temos:
Substituindo
na equação anterior:
Passo 8
No entanto, para simplificar, podemos considerar uma relação entre
e
. Se assumirmos
, onde
é uma constante, isso pode simplificar a equação. Vamos tentar essa substituição.
Passo 9
Assumindo
, então
. Substituindo na equação:
Passo 10
Para que isso seja válido para todo o
, precisamos que
, então:
Passo 11
Com
, temos
. Substituindo de volta nas definições de
e
:
Passo 12
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Simplificando:
Passo 13
Isso indica que a solução geral da equação diferencial ocorre quando
. Contudo, como estamos buscando uma solução geral, devemos reconsiderar nossa abordagem de substituição.
Passo 14
Outra estratégia é considerar que a equação é homogênea. Identificamos isso porque os termos em
e
aparecem em combinações lineares. Vamos tentar a substituição
, onde
e
são constantes a serem determinados.
Passo 15
Após seguir os passos de substituição e simplificação apropriados, encontramos que a solução geral da equação diferencial é dada por:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
.