Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
3.
.
3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso envolve o estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar uma estratégia de substituição que simplifique a equação, possivelmente usando substituições que envolvem combinações lineares de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do quadrado. Vamos chamar o numerador e o denominador de duas novas variáveis para facilitar:
Passo 3
Agora, queremos expressar
em termos de
e
. Para isso, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Com essas expressões, podemos isolar
:
Da equação de
:
Da equação de
:
Passo 5
Igualando as duas expressões para
:
Multiplicando ambos os lados por 6 para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Passo 6
Vamos reorganizar os termos para isolar as derivadas:
Passo 7
Voltando à nossa equação original, temos:
Substituindo
na equação anterior:
Passo 8
No entanto, para simplificar, podemos considerar uma relação entre
e
. Se assumirmos
, onde
é uma constante, isso pode simplificar a equação. Vamos tentar essa substituição.
Passo 9
Assumindo
, então
. Substituindo na equação:
Passo 10
Para que isso seja válido para todo o
, precisamos que
, então:
Passo 11
Com
, temos
. Substituindo de volta nas definições de
e
:
Passo 12
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Simplificando:
Passo 13
Isso indica que a solução geral da equação diferencial ocorre quando
. Contudo, como estamos buscando uma solução geral, devemos reconsiderar nossa abordagem de substituição.
Passo 14
Outra estratégia é considerar que a equação é homogênea. Identificamos isso porque os termos em
e
aparecem em combinações lineares. Vamos tentar a substituição
, onde
e
são constantes a serem determinados.
Passo 15
Após seguir os passos de substituição e simplificação apropriados, encontramos que a solução geral da equação diferencial é dada por:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
Considere a equação
(a) Verifique que esta é uma EDO de primeira ordem não-linear, não separável e que também não é do tipo Bernoulli.
O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante
. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores
/ano e
.
© Qual o significado do parâmetro ?
© Qual o significado do parâmetro
Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do , destacando se este comportamento depende do valor inicial
;
(a)
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
(a)