Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo:
Estamos trabalhando com a função
. O objetivo é esboçar o gráfico dessa função seguindo um roteiro que inclui determinar o domínio, intersecções com os eixos, simetrias, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade e pontos de inflexão.
Conteúdo da Matéria:
- Domínio: Conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. - Intersecções: Pontos onde a função corta os eixos
e . - Simetrias: Verificar se a função é par, ímpar ou não possui simetria.
- Assíntotas: Linhas que a função se aproxima mas nunca toca (importante para funções racionais, mas geralmente não aplicável a polinômios).
- Crescimento e Decrescimento: Intervalos onde a função está aumentando ou diminuindo, usando a derivada primeira.
- Máximos e Mínimos Locais: Pontos onde a função atinge valores máximos ou mínimos.
- Concavidade e Pontos de Inflexão: Determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo e pontos onde a concavidade muda.
Vamos resolver cada item passo a passo!
Passo 2
A. Determinar o Domínio da Função
O que é o Domínio?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Resolução:
Nossa função é
. Observando, vemos que é um polinômio.
Propriedade dos Polinômios:
Polinômios estão definidos para todos os números reais, pois não há divisões por zero ou raízes de índices pares de números negativos.
Conclusão:
O domínio de
é todos os números reais.
Domínio:
Passo 3
B. Interseções com os Eixos
Interseções com o Eixo
:
É o ponto onde
.
Cálculo:
Interseção com o Eixo
:
Interseções com o Eixo
:
São os valores de
que fazem
.
Resolução:
Isso será zero quando:
Interseções com o Eixo
:
Passo 4
C. Simetrias
O que são Simetrias?
Uma função pode ser simétrica em relaç��o ao eixo
(função par), ao ponto de origem (função ímpar) ou não ter simetria.
Teste para Simetria:
- Função Par:
- Função Ímpar:
Cálculo:
Comparando com
:
Conclusão:
A função
não possui simetria.
Passo 5
D. Assíntotas Horizontais e Verticais
O que são Assíntotas?
Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
- Assíntotas Horizontais: Relacionadas ao comportamento da função quando
vai para ou . - Assíntotas Verticais: Relacionadas a valores de
que fazem a função tender ao infinito.
Análise da Função:
Nossa função é um polinômio de grau 4 (já que
é de grau 3 e multiplicado por
resulta em grau 4).
Propriedade dos Polinômios:
Polinômios não têm assíntotas verticais nem horizontais, pois são definidos para todos os
e seu limite quando
vai para
ou
também tende ao infinito.
Conclusão:
A função
não possui assíntotas horizontais nem verticais.
Passo 6
E. Intervalos de Crescimento e Decrescimento
O que é Crescimento e Decrescimento?
- Crescente: Quando, conforme
aumenta, também aumenta. - Decrescente: Quando, conforme
aumenta, diminui.
Como Determinar:
Usamos a derivada primeira
. Se
, a função está crescendo; se
, está decrescendo.
Cálculo da Derivada Primeira:
Usando a regra do produto:
Encontrando os Pontos Críticos:
Resolvemos
:
Então:
Análise dos Sinais:
Dividimos a linha dos números em intervalos com base nos pontos críticos
e
:
- Intervalo 1:
- Intervalo 2:
- Intervalo 3:
Teste de Sinais:
Escolhemos valores de teste em cada intervalo.
- Para
(ex: ):
Decrescente.
- Para
(ex: ):
Crescente.
- Para
(ex: ):
Crescente.
Conclusão:
- Decrescente:
- Crescente:
Passo 7
F. Valores de Máximo e Mínimo Locais
O que são Máximos e Mínimos Locais?
- Máximo Local: Ponto onde a função atinge um valor maior que nos pontos próximos.
- Mínimo Local: Ponto onde a função atinge um valor menor que nos pontos próximos.
Como Determinar:
Usamos os pontos críticos encontrados na derivada primeira e analisamos o comportamento da função nesses pontos.
Pontos Críticos:
Análise de
:
Antes de
, a função está decrescente; depois, está crescendo. Isso indica mínimo local.
Calculando
:
Mínimo Local:
Análise de
:
Nesses pontos, a derivada primeira muda de crescente para crescente (não muda o sinal). Isso indica que
é um ponto de inflexão, mas não um máximo ou mínimo local.
Conclusão:
- Mínimo Local:
- Sem Máximos ou Mínimos Locais em
Passo 8
G. Intervalos de Concavidade e Pontos de Inflexão
O que é Concavidade e Pontos de Inflexão?
- Concavidade para Cima: A função “abre para cima”.
- Concavidade para Baixo: A função “abre para baixo”.
- Ponto de Inflexão: Ponto onde a concavidade muda.
Como Determinar:
Usamos a derivada segunda
.
Cálculo da Derivada Segunda:
Lembrando que
.
Calculamos
:
Usando a regra do produto:
Encontrando Pontos Críticos da Derivada Segunda:
Resolvemos
:
Então:
Análise dos Sinais:
Dividimos a linha dos números em intervalos com base em
e
:
- Intervalo 1:
- Intervalo 2:
- Intervalo 3:
Teste de Sinais:
- Para
(ex: ):
Concavidade para cima.
- Para
(ex: ):
Concavidade para baixo.
- Para
(ex: ):
Concavidade para cima.
Conclusão:
- Concavidade para Cima:
e - Concavidade para Baixo:
- Pontos de Inflexão:
e
Calculando os Pontos de Inflexão:
Pontos de Inflexão:
Passo 9
H. Esboçar o Gráfico Utilizando as Informações Anteriores
Resumo das Informações Obtidas:
- Domínio:
- Interseções:
- Eixo
: - Eixo
: e
- Eixo
- Simetrias: Não possui
- Assíntotas: Nenhuma
- Crescimento e Decrescimento:
- Decrescente:
- Crescente:
- Decrescente:
- Máximos e Mínimos Locais:
- Mínimo Local:
- Mínimo Local:
- Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Concavidade para Cima:
e - Concavidade para Baixo:
- Pontos de Inflexão:
e
- Concavidade para Cima:
Como Esboçar o Gráfico:
-
Pontos Importantes:
- Ponto inicial e interseções:
e - Ponto de mínimo:
- Pontos de inflexão:
e
- Ponto inicial e interseções:
-
Comportamento nos Intervalos:
- Antes de
: A função está descendo, chegando ao mínimo em . - Após
: A função está crescendo, passando por onde a concavidade muda. - Após
: A função continua crescendo com concavidade para cima.
- Antes de
-
Concavidade:
- Para
: Curva “segura” para cima. - Entre
e : Curva “segura” para baixo. - Após
: Curva “segura” para cima novamente.
- Para
-
Forma Geral:
- A função começa descendo de
, atinge o mínimo em , sobe até , muda a concavidade, passa por , e continua subindo para .
- A função começa descendo de
Observação Final:
Com todas essas informações, você pode desenhar o gráfico da função
, marcando os pontos chave e observando o comportamento nos diferentes intervalos.
Resposta
Seguindo todos os passos, determinamos que a função
tem domínio em todos os números reais, intercepta os eixos em
e
, não possui simetrias ou assíntotas, é decrescente em
e crescente em
com um mínimo local em
. A concavidade é para cima em
e
, e para baixo em
, com pontos de inflexão em
e
. Com essas informações, é possível esboçar o gráfico completo da função.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral de cada equação diferencial a seguir:
2. ;
2.
Resolva os seguintes PVI©
.
O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de linguados gigantes em um instante
. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores
/ano e
.
© Qual o significado do parâmetro ?
© Qual o significado do parâmetro
Considere a equação
(a) Verifique que esta é uma EDO de primeira ordem não-linear, não separável e que também não é do tipo Bernoulli.