Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo:
Estamos trabalhando com a função . O objetivo é esboçar o gráfico dessa função seguindo um roteiro que inclui determinar o domínio, intersecções com os eixos, simetrias, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, concavidade e pontos de inflexão.
Conteúdo da Matéria:
  • Domínio: Conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  • Intersecções: Pontos onde a função corta os eixos e .
  • Simetrias: Verificar se a função é par, ímpar ou não possui simetria.
  • Assíntotas: Linhas que a função se aproxima mas nunca toca (importante para funções racionais, mas geralmente não aplicável a polinômios).
  • Crescimento e Decrescimento: Intervalos onde a função está aumentando ou diminuindo, usando a derivada primeira.
  • Máximos e Mínimos Locais: Pontos onde a função atinge valores máximos ou mínimos.
  • Concavidade e Pontos de Inflexão: Determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo e pontos onde a concavidade muda.
Vamos resolver cada item passo a passo!

Passo 2

A. Determinar o Domínio da Função
O que é o Domínio?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Resolução:
Nossa função é . Observando, vemos que é um polinômio.
Propriedade dos Polinômios:
Polinômios estão definidos para todos os números reais, pois não há divisões por zero ou raízes de índices pares de números negativos.
Conclusão:
O domínio de é todos os números reais.
Domínio:
í

Passo 3

B. Interseções com os Eixos
Interseções com o Eixo :
É o ponto onde .
Cálculo:
Interseção com o Eixo :
Interseções com o Eixo :
São os valores de que fazem .
Resolução:
Isso será zero quando:
Interseções com o Eixo :
e

Passo 4

C. Simetrias
O que são Simetrias?
Uma função pode ser simétrica em relaç��o ao eixo (função par), ao ponto de origem (função ímpar) ou não ter simetria.
Teste para Simetria:
  • Função Par:
  • Função Ímpar:
Cálculo:
Comparando com :
Conclusão:
A função não possui simetria.

Passo 5

D. Assíntotas Horizontais e Verticais
O que são Assíntotas?
Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
  • Assíntotas Horizontais: Relacionadas ao comportamento da função quando vai para ou .
  • Assíntotas Verticais: Relacionadas a valores de que fazem a função tender ao infinito.
Análise da Função:
Nossa função é um polinômio de grau 4 (já que é de grau 3 e multiplicado por resulta em grau 4).
Propriedade dos Polinômios:
Polinômios não têm assíntotas verticais nem horizontais, pois são definidos para todos os e seu limite quando vai para ou também tende ao infinito.
Conclusão:
A função não possui assíntotas horizontais nem verticais.

Passo 6

E. Intervalos de Crescimento e Decrescimento
O que é Crescimento e Decrescimento?
  • Crescente: Quando, conforme aumenta, também aumenta.
  • Decrescente: Quando, conforme aumenta, diminui.
Como Determinar:
Usamos a derivada primeira . Se , a função está crescendo; se , está decrescendo.
Cálculo da Derivada Primeira:
Usando a regra do produto:
Encontrando os Pontos Críticos:
Resolvemos :
Então:
Análise dos Sinais:
Dividimos a linha dos números em intervalos com base nos pontos críticos e :
  • Intervalo 1:
  • Intervalo 2:
  • Intervalo 3:
Teste de Sinais:
Escolhemos valores de teste em cada intervalo.
  1. Para (ex: ):
Decrescente.
  1. Para (ex: ):
Crescente.
  1. Para (ex: ):
Crescente.
Conclusão:
  • Decrescente:
  • Crescente:

Passo 7

F. Valores de Máximo e Mínimo Locais
O que são Máximos e Mínimos Locais?
  • Máximo Local: Ponto onde a função atinge um valor maior que nos pontos próximos.
  • Mínimo Local: Ponto onde a função atinge um valor menor que nos pontos próximos.
Como Determinar:
Usamos os pontos críticos encontrados na derivada primeira e analisamos o comportamento da função nesses pontos.
Pontos Críticos:
Análise de :
Antes de , a função está decrescente; depois, está crescendo. Isso indica mínimo local.
Calculando :
Mínimo Local:
Análise de :
Nesses pontos, a derivada primeira muda de crescente para crescente (não muda o sinal). Isso indica que é um ponto de inflexão, mas não um máximo ou mínimo local.
Conclusão:
  • Mínimo Local:
  • Sem Máximos ou Mínimos Locais em

Passo 8

G. Intervalos de Concavidade e Pontos de Inflexão
O que é Concavidade e Pontos de Inflexão?
  • Concavidade para Cima: A função “abre para cima”.
  • Concavidade para Baixo: A função “abre para baixo”.
  • Ponto de Inflexão: Ponto onde a concavidade muda.
Como Determinar:
Usamos a derivada segunda .
Cálculo da Derivada Segunda:
Lembrando que .
Calculamos :
Usando a regra do produto:
Encontrando Pontos Críticos da Derivada Segunda:
Resolvemos :
Então:
Análise dos Sinais:
Dividimos a linha dos números em intervalos com base em e :
  • Intervalo 1:
  • Intervalo 2:
  • Intervalo 3:
Teste de Sinais:
  1. Para (ex: ):
Concavidade para cima.
  1. Para (ex: ):
Concavidade para baixo.
  1. Para (ex: ):
Concavidade para cima.
Conclusão:
  • Concavidade para Cima: e
  • Concavidade para Baixo:
  • Pontos de Inflexão: e
Calculando os Pontos de Inflexão:
Pontos de Inflexão:

Passo 9

H. Esboçar o Gráfico Utilizando as Informações Anteriores
Resumo das Informações Obtidas:
  • Domínio:
  • Interseções:
    • Eixo :
    • Eixo : e
  • Simetrias: Não possui
  • Assíntotas: Nenhuma
  • Crescimento e Decrescimento:
    • Decrescente:
    • Crescente:
  • Máximos e Mínimos Locais:
    • Mínimo Local:
  • Concavidade e Pontos de Inflexão:
    • Concavidade para Cima: e
    • Concavidade para Baixo:
    • Pontos de Inflexão: e
Como Esboçar o Gráfico:
  1. Pontos Importantes:
    • Ponto inicial e interseções: e
    • Ponto de mínimo:
    • Pontos de inflexão: e
  2. Comportamento nos Intervalos:
    • Antes de : A função está descendo, chegando ao mínimo em .
    • Após : A função está crescendo, passando por onde a concavidade muda.
    • Após : A função continua crescendo com concavidade para cima.
  3. Concavidade:
    • Para : Curva “segura” para cima.
    • Entre e : Curva “segura” para baixo.
    • Após : Curva “segura” para cima novamente.
  4. Forma Geral:
    • A função começa descendo de , atinge o mínimo em , sobe até , muda a concavidade, passa por , e continua subindo para .
Observação Final:
Com todas essas informações, você pode desenhar o gráfico da função , marcando os pontos chave e observando o comportamento nos diferentes intervalos.

Resposta

Seguindo todos os passos, determinamos que a função tem domínio em todos os números reais, intercepta os eixos em e , não possui simetrias ou assíntotas, é decrescente em e crescente em com um mínimo local em . A concavidade é para cima em e , e para baixo em , com pontos de inflexão em e . Com essas informações, é possível esboçar o gráfico completo da função.

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