Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função
. A gente vai analisar vários aspectos dessa função, como domínio, interceptações, simetrias, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade e pontos de inflexão, para depois esboçar o gráfico. Vamos precisar de conhecimentos de funções, derivadas e análise de gráficos.
Passo 2
A. Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, precisamos garantir que o denominador não seja zero e que a expressão dentro da raiz seja não negativa.
A expressão dentro da raiz é
. Como
é sempre não negativo e adicionando 1, ela nunca será zero ou negativa. Então, o denominador nunca será zero e a raiz sempre é válida.
Domínio: Todos os números reais, ou seja,
.
Passo 3
B. Interseções com os eixos.
Interseção com o eixo y: Para encontrar onde a função cruza o eixo y, avaliamos
.
Portanto, a interseção com o eixo y é no ponto
.
Interseção com o eixo x: São os mesmos pontos onde
. Resolvendo:
Então, a interseção com o eixo x também é no ponto
.
Passo 4
C. Simetrias.
Para verificar simetrias, analisamos se a função é par, ímpar ou não possui simetria.
Função par:
Como
, a função é ímpar.
Simetria: A função é ímpar, ou seja, tem simetria de origem.
Passo 5
D. Assíntotas horizontais e verticais.
Assíntotas verticais: São valores de
que fazem o denominador zero, mas já vimos que
nunca é zero. Portanto, não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais: Analisamos o limite da função quando
tende a
e a
.
Então, há duas assíntotas horizontais:
e
.
Passo 6
E. Intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
Para determinar isso, vamos derivar a função e analisar o sinal da derivada.
Primeiro, derivamos
:
A derivada
é sempre positiva, pois o denominador é sempre positivo.
Conclusão: A função é crescente para todo
.
Passo 7
F. Valores de máximo e mínimo locais.
Como a derivada
é sempre positiva e a função é sempre crescente, não existem pontos de máximo ou mínimo locais na função.
Passo 8
G. Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade.
Derivando
:
Analisando o sinal de
:
- Para
, : concavidade para baixo. - Para
, : concavidade para cima. - Em
, a concavidade muda, então há um ponto de inflexão em .
Conclusão:
- Concava para cima:
- Concava para baixo:
- Ponto de inflexão:
Passo 9
H. Esboço do gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Com todas as informações:
- Domínio:
- Interseção no ponto
- Simetria de origem
- Assíntotas horizontais em
e - Função sempre crescente
- Concavidade para cima em
e para baixo em - Ponto de inflexão em
O gráfico será uma curva que passa pela origem, se aproxima das assíntotas horizontais
e
conforme
vai para
ou
, e muda a concavidade em
.
Resposta
Domínio:
. A função intercepta os eixos no ponto
, é ímpar (simetria de origem), não possui assíntotas verticais e possui assíntotas horizontais em
e
. A função é sempre crescente, não possui máximos ou mínimos locais, tem concavidade para cima em
e para baixo em
, com ponto de inflexão em
. O esboço do gráfico reflete essas características, aproximando-se das assíntotas horizontais e mudando a concavidade no ponto de inflexão.