Para as próximas funções use o roteiro para esboçar o gráfico.
A. Determine o domínio da função.
B. intersecções com os eixos;
C. Símetrias;
D. Encontre as assíntotas horizontais e verticais;
E. Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente;
F. Encontre os valores de máximo e mínimo locais;
G. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
H. Esboce o gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre a função . A gente vai analisar vários aspectos dessa função, como domínio, interceptações, simetrias, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, concavidade e pontos de inflexão, para depois esboçar o gráfico. Vamos precisar de conhecimentos de funções, derivadas e análise de gráficos.
Passo 2
A. Determinar o domínio da função.
O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , precisamos garantir que o denominador não seja zero e que a expressão dentro da raiz seja não negativa.
A expressão dentro da raiz é . Como é sempre não negativo e adicionando 1, ela nunca será zero ou negativa. Então, o denominador nunca será zero e a raiz sempre é válida.
Domínio: Todos os números reais, ou seja, .
Passo 3
B. Interseções com os eixos.
Interseção com o eixo y: Para encontrar onde a função cruza o eixo y, avaliamos .
Portanto, a interseção com o eixo y é no ponto .
Interseção com o eixo x: São os mesmos pontos onde . Resolvendo:
Então, a interseção com o eixo x também é no ponto .
Passo 4
C. Simetrias.
Para verificar simetrias, analisamos se a função é par, ímpar ou não possui simetria.
Função par:
Como , a função é ímpar.
Simetria: A função é ímpar, ou seja, tem simetria de origem.
Passo 5
D. Assíntotas horizontais e verticais.
Assíntotas verticais: São valores de que fazem o denominador zero, mas já vimos que nunca é zero. Portanto, não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais: Analisamos o limite da função quando tende a e a .
Então, há duas assíntotas horizontais: e .
Passo 6
E. Intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
Para determinar isso, vamos derivar a função e analisar o sinal da derivada.
Primeiro, derivamos :
A derivada é sempre positiva, pois o denominador é sempre positivo.
Conclusão: A função é crescente para todo .
Passo 7
F. Valores de máximo e mínimo locais.
Como a derivada é sempre positiva e a função é sempre crescente, não existem pontos de máximo ou mínimo locais na função.
Passo 8
G. Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade.
Derivando :
Analisando o sinal de :
Para , : concavidade para baixo.
Para , : concavidade para cima.
Em , a concavidade muda, então há um ponto de inflexão em .
Conclusão:
Concava para cima:
Concava para baixo:
Ponto de inflexão:
Passo 9
H. Esboço do gráfico, utilizando as informações dos itens anteriores.
Com todas as informações:
Domínio:
Interseção no ponto
Simetria de origem
Assíntotas horizontais em e
Função sempre crescente
Concavidade para cima em e para baixo em
Ponto de inflexão em
O gráfico será uma curva que passa pela origem, se aproxima das assíntotas horizontais e conforme vai para ou , e muda a concavidade em .
Resposta
Domínio: . A função intercepta os eixos no ponto , é ímpar (simetria de origem), não possui assíntotas verticais e possui assíntotas horizontais em e . A função é sempre crescente, não possui máximos ou mínimos locais, tem concavidade para cima em e para baixo em , com ponto de inflexão em . O esboço do gráfico reflete essas características, aproximando-se das assíntotas horizontais e mudando a concavidade no ponto de inflexão.