Considere a equação
(e) Verifique que a EDO encontrada para
é separável e resolva-a.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que relaciona
com
e
. A equação é:
O objetivo é verificar se essa EDO para uma nova variável
é separável e, se for, resolver essa equação. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, especificamente técnicas de resolução de EDOs separáveis. Vamos precisar usar substituições para transformar a equação original em uma que seja mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir
. Isso ajuda a eliminar termos e tornar a equação mais manejável.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Passo 4
Substituímos
na equação original pela expressão em termos de
.
Dada a equação original:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, usamos a expressão para
que encontramos:
Vamos rearranjar essa equação para torná-la mais fácil de separar:
Passo 6
Observamos que a equação pode ser separada. Para isso, reescrevemos a equação em termos de
e
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Passo 7
Agora, separamos as variáveis
e
. Dividindo ambos os lados por
:
Vamos rearranjar para obter:
Passo 8
Integramos ambos os lados da equação. A integral será em termos de
e
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Para os itens a seguir, encontre a solução do problema de valor inicial. Em seguida, desenhe o gráfico da solução (para desenhar o gráfico use um computador se achar necessário).
(a) Res:
(a)
Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(f)
(f)
Resolver as integrais indefinidas abaixo usando o método de substituição trigonométrica.
Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.