Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função como solução explícita da equação diferencial
. Nosso objetivo é descobrir qual dos intervalos apresentados na alternativa (f)
é o maior possível onde essa solução é válida. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas e as propriedades das funções trigonométricas, especialmente o seno e o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de . Sabemos que
. A equação diferencial nos diz que
, então substituindo , temos:
Passo 3
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a equação fica:
Passo 4
Para que
, o cosseno de
precisa ser não negativo. Ou seja:
Passo 5
Vamos identificar os intervalos onde
. Sabemos que o cosseno é positivo nos seguintes intervalos dentro de um período de
:
- De
a - De
a
Esses são os intervalos onde a função satisfaz a equação diferencial dada.
Resposta
A alternativa (f)
apresenta o maior intervalo de definição possível para a solução da equação diferencial
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, esboce o gráfico da função dada no intervalo
:
(a)
(a)
Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do , destacando se este comportamento depende do valor inicial
;
(f)
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
(f)
Para os itens a seguir, encontre a solução do problema de valor inicial. Em seguida, desenhe o gráfico da solução (para desenhar o gráfico use um computador se achar necessário).
(a) Res:
(a)
Considere a equação
(e) Verifique que a EDO encontrada para
é separável e resolva-a.