Dado que y = sen(x) é uma solução explícita da equação dy/dx = raiz(1 - y^2), qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(f) [-pi/2, pi/2] U [3pi/2, 5pi/2]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função como solução explícita da equação diferencial . Nosso objetivo é descobrir qual dos intervalos apresentados na alternativa (f) é o maior possível onde essa solução é válida. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas e as propriedades das funções trigonométricas, especialmente o seno e o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . Sabemos que . A equação diferencial nos diz que , então substituindo , temos:

Passo 3

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a equação fica:

Passo 4

Para que , o cosseno de precisa ser não negativo. Ou seja:

Passo 5

Vamos identificar os intervalos onde . Sabemos que o cosseno é positivo nos seguintes intervalos dentro de um período de :
  • De a
  • De a
Esses são os intervalos onde a função satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

A alternativa (f) apresenta o maior intervalo de definição possível para a solução da equação diferencial .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, esboce o gráfico da função dada no intervalo t ≥ 0 :
(a) g(t) = u1(t) + 2 u3(t) - 6 u4(t)
Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do lim t infty y(t), destacando se este comportamento depende do valor inicial y(0)=y0;
(f) d yd t=a y+b y^2, a>0, b>0
Para os itens a seguir, encontre a solução do problema de valor inicial. Em seguida, desenhe o gráfico da solução (para desenhar o gráfico use um computador se achar necessário).
(a) y^prime prime+y=f(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=1 ; f(t)=cc1, & 0 <= t Res: y(t)=1-cos t+sin t- upi / 2(t)(1-sin t)
Considere a equação
d y/d x = (y - 4 x)/(x - y)
(e) Verifique que a EDO encontrada para v é separável e resolva-a.