Para os itens a seguir, encontre a solução do problema de valor inicial. Em seguida, desenhe o gráfico da solução (para desenhar o gráfico use um computador se achar necessário).
(a) y^prime prime+y=f(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=1 ; f(t)=cc1, & 0 <= t Res: y(t)=1-cos t+sin t- upi / 2(t)(1-sin t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é f(t) = 1, & 0 <= t < pi2, 0, & pi2 <= t < infty , onde é uma função definida em partes:
As condições iniciais são e . Vamos precisar resolver essa equação para encontrar a função e depois desenhar o gráfico dela.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é yh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t), . A solução geral dessa equação tem a forma:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular 0 + A = 1 implies A = 1 para a equação completa . Como é uma função constante igual a 1 para , podemos tentar uma solução particular constante. Vamos supor , onde é uma constante. Substituindo na equação:
Então, para , a solução particular é .

Passo 4

A solução geral para y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + 1 é a soma da solução homogênea e da particular:
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .

Passo 5

Aplicando 0 = C1 cos(0) + C2 sin(0) + 1 implies 0 = C1 cdot 1 + 0 + 1 implies C1 = -1 :
y'(t) = -C1 sin(t) + C2 cos(t)
Agora, aplicando 1 = -C1 cdot 0 + C2 cdot 1 implies C2 = 1 . Primeiro, derivamos :
Em :

Passo 6

Com y(t) = -cos(t) + sin(t) + 1 e , a solução para é:

Passo 7

Para y'' + y = 0 , a função y(t) = C3 cos(t) + C4 sin(t) , então a equação homogênea permanece:
A solução geral é:
Vamos determinar e usando as condições de continuidade em .

Passo 8

Em y(pi2) = -cos(pi2) + sin(pi2) + 1 = 0 + 1 + 1 = 2 , a solução à esquerda:
y'(pi2) = sin(pi2) + cos(pi2) = 1 + 0 = 1
A derivada:
2 = C3 cos(pi2) + C4 sin(pi2) implies 2 = 0 + C4 implies C4 = 2
Igualando com a solução à direita:
1 = -C3 sin(pi2) + C4 cos(pi2) implies 1 = -C3 cdot 1 + 0 implies C3 = -1
E para as derivadas:

Passo 9

Com y(t) = -cos(t) + 2 sin(t) e y(t) = 1 - cos(t) + sin(t) - upi2(t)(1 - sin(t)) , a solução para é:
Agora, combinamos as soluções usando a função unidade de Heaviside para representar a mudança em :

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 1 - cos t + sin t - upi2(t)(1 - sin t)

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