Para os itens a seguir, encontre a solução do problema de valor inicial. Em seguida, desenhe o gráfico da solução (para desenhar o gráfico use um computador se achar necessário).
(a)
Res:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A equação que temos é
, onde
é uma função definida em partes:
As condições iniciais são
e
. Vamos precisar resolver essa equação para encontrar a função
e depois desenhar o gráfico dela.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. A solução geral dessa equação tem a forma:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como
é uma função constante igual a 1 para
, podemos tentar uma solução particular constante. Vamos supor
, onde
é uma constante. Substituindo na equação:
Então, para
, a solução particular é
.
Passo 4
A solução geral para
é a soma da solução homogênea e da particular:
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 5
Aplicando
:
Agora, aplicando
. Primeiro, derivamos
:
Em
:
Passo 6
Com
e
, a solução para
é:
Passo 7
Para
, a função
, então a equação homogênea permanece:
A solução geral é:
Vamos determinar
e
usando as condições de continuidade em
.
Passo 8
Em
, a solução à esquerda:
A derivada:
Igualando com a solução à direita:
E para as derivadas:
Passo 9
Com
e
, a solução para
é:
Agora, combinamos as soluções usando a função unidade de Heaviside
para representar a mudança em
:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(f)
(f)
Em cada um dos itens abaixo, esboce o gráfico da função dada no intervalo
:
(a)
(a)
Considere a equação
(e) Verifique que a EDO encontrada para
é separável e resolva-a.
Resolver as integrais indefinidas abaixo usando o método de substituição trigonométrica.