Considere que a equação para o deslocamento
de um oscilador amortecido forçado
com amplitude
dada por
onde
é a amplitude (constante) da força externa alternada exercida sobre a mola. Na ressonância, quais são (a) a amplitude do movimento e (b) a amplitude da velocidade do bloco?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador amortecido forçado, que basicamente é um sistema que vibra quando você aplica uma força externa a ele. A equação que descreve o deslocamento desse sistema ao longo do tempo é:
Aqui,
é a posição do oscilador em um tempo
,
é a amplitude máxima do movimento,
é a frequência da força externa, e
é a fase. A gente precisa descobrir duas coisas na ressonância (ou seja, quando a frequência da força externa bate certinho com a frequência natural do sistema):
a) A amplitude do movimento (
)
b) A amplitude da velocidade do bloco
Para resolver isso, vamos precisar entender como a amplitude depende das frequências e das propriedades do sistema, como a massa (
) e o coeficiente de amortecimento (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da amplitude
que foi fornecida:
Aqui,
é a amplitude da força externa que está sendo aplicada. Essa fórmula mostra como a amplitude do movimento depende da diferença entre a frequência da força externa (
) e a frequência natural do sistema (
), além do amortecimento
.
Passo 3
Na ressonância, a frequência da força externa
é igual à frequência natural do sistema
. Ou seja:
Vamos substituir
por
na fórmula da amplitude para encontrar a amplitude na condição de ressonância.
Passo 4
Substituindo
na fórmula de
:
Simplificando a parte dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Então, a amplitude do movimento na ressonância é:
Agora, vamos calcular a amplitude da velocidade. A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo.
Passo 6
A velocidade
é a derivada de
:
A amplitude da velocidade
é o coeficiente que acompanha o seno:
Passo 7
Já sabemos que na ressonância
, e já encontramos
. Então, substituindo:
Resposta
(a) A amplitude do movimento na ressonância é
.
(b) A amplitude da velocidade do bloco na ressonância é
.