Considere que a equação para o deslocamento x(t) de um oscilador amortecido forçado
x(t)=xm cos (omegae t+phi)
com amplitude xm dada por
xm= & Fm & [m^2(omegae^2-omega^2)^z+b^2 omegae^2]^1 / 2
onde Fm é a amplitude (constante) da força externa alternada exercida sobre a mola. Na ressonância, quais são (a) a amplitude do movimento e (b) a amplitude da velocidade do bloco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador amortecido forçado, que basicamente é um sistema que vibra quando você aplica uma força externa a ele. A equação que descreve o deslocamento desse sistema ao longo do tempo é:
x(t) = xm cos(omegae t + phi)
Aqui, x(t) é a posição do oscilador em um tempo t, xm é a amplitude máxima do movimento, omegae é a frequência da força externa, e phi é a fase. A gente precisa descobrir duas coisas na ressonância (ou seja, quando a frequência da força externa bate certinho com a frequência natural do sistema):
a) A amplitude do movimento ( xm)
b) A amplitude da velocidade do bloco
Para resolver isso, vamos precisar entender como a amplitude depende das frequências e das propriedades do sistema, como a massa ( m) e o coeficiente de amortecimento ( b).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da amplitude xm que foi fornecida:
xm = Fmraizm^2(omegae^2 - omega^2)^2 + b^2 omegae^2
Aqui, Fm é a amplitude da força externa que está sendo aplicada. Essa fórmula mostra como a amplitude do movimento depende da diferença entre a frequência da força externa ( omegae) e a frequência natural do sistema ( omega), além do amortecimento b.

Passo 3

Na ressonância, a frequência da força externa omegae é igual à frequência natural do sistema omega. Ou seja:
omegae = omega
Vamos substituir omegae por omega na fórmula da amplitude para encontrar a amplitude na condição de ressonância.

Passo 4

Substituindo omegae = omega na fórmula de xm:
xm = Fmraizm^2(omega^2 - omega^2)^2 + b^2 omega^2
Simplificando a parte dentro da raiz:
omega^2 - omega^2 = 0
Então:
xm = Fmraiz0 + b^2 omega^2 = Fmb omega

Passo 5

Então, a amplitude do movimento na ressonância é:
xm = Fmb omega
Agora, vamos calcular a amplitude da velocidade. A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo.

Passo 6

A velocidade v(t) é a derivada de x(t):
v(t) = dx(t)dt = -xm omegae sin(omegae t + phi)
A amplitude da velocidade vm é o coeficiente que acompanha o seno:
vm = xm omegae

Passo 7

Já sabemos que na ressonância omegae = omega, e já encontramos xm = Fmb omega. Então, substituindo:
vm = Fmb omega times omega = Fmb

Resposta

(a) A amplitude do movimento na ressonância é xm = dfracFmb,omega.
(b) A amplitude da velocidade do bloco na ressonância é vm = dfracFmb.

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