São dados dois vetores: a=(4,0 m) i-(3,0 m) j e b=(6,0 m) i-(8,0 m) j. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação a i) de a. Determine © o módulo e (d) o ângulo de b. Determine (e) o módulo e (f) o ângulo de a + b; (g) o módulo e (h) o ângulo de b - a: (i) o módulo e (j) o ângulo de a - b. (k) Determine o ângulo entre as direções de b-a e a-b.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve dois vetores: a = (4,0 , m),i - (3,0 , m),j e b = (6,0 , m),i - (8,0 , m),j. O conteúdo da matéria envolve vetores no plano, onde vamos calcular módulos (comprimentos) e ângulos em relação ao eixo i. Para resolver, precisamos entender como calcular o módulo de um vetor e o ângulo que ele forma com o eixo i usando funções trigonométricas.

Passo 2

(a) Calculando o módulo de a.
O módulo de um vetor v = vx i + vy j é dado por:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Para a:
|a| = raiz(4,0)^2 + (-3,0)^2 = raiz16,0 + 9,0 = raiz25,0 = 5,0 , m

Passo 3

(b) Calculando o ângulo de a em relação a i.
O ângulo theta que o vetor forma com o eixo i é dado por:
theta = arctan(vyvx)
Para a:
thetaa = arctan(-3,04,0) approx arctan(-0,75) approx -36,87^circ
Como o ângulo é negativo, significa que o vetor está abaixo do eixo i. Podemos também expressar como 360^circ - 36,87^circ = 323,13^circ.

Passo 4

© Calculando o módulo de b.
Usando a mesma fórmula:
|b| = raiz(6,0)^2 + (-8,0)^2 = raiz36,0 + 64,0 = raiz100,0 = 10,0 , m

Passo 5

(d) Calculando o ângulo de b em relação a i.
Aplicando a fórmula do ângulo:
thetab = arctan(-8,06,0) approx arctan(-1,333) approx -53,13^circ
Assim como antes, o ângulo negativo indica que o vetor está abaixo do eixo i. Podemos também expressar como 360^circ - 53,13^circ = 306,87^circ.

Passo 6

(e) Calculando o módulo de a + b.
Primeiro, somamos os componentes:
a + b = (4,0 + 6,0)i + (-3,0 - 8,0)j = 10,0,i - 11,0,j
Agora, calculamos o módulo:
|a + b| = raiz10,0^2 + (-11,0)^2 = raiz100,0 + 121,0 = raiz221,0 approx 14,87 , m

Passo 7

(f) Calculando o ângulo de a + b em relação a i.
Usando a fórmula do ângulo:
thetaa+b = arctan(-11,010,0) approx arctan(-1,1) approx -47,73^circ
Expressando de forma positiva: 360^circ - 47,73^circ = 312,27^circ.

Passo 8

(g) Calculando o módulo de b - a.
Primeiro, subtraímos os componentes:
b - a = (6,0 - 4,0)i + (-8,0 - (-3,0))j = 2,0,i - 5,0,j
Agora, calculamos o módulo:
|b - a| = raiz2,0^2 + (-5,0)^2 = raiz4,0 + 25,0 = raiz29,0 approx 5,39 , m

Passo 9

(h) Calculando o ângulo de b - a em relação a i.
Usando a fórmula do ângulo:
thetab-a = arctan(-5,02,0) approx arctan(-2,5) approx -68,2^circ
Expressando de forma positiva: 360^circ - 68,2^circ = 291,8^circ.

Passo 10

(i) Calculando o módulo de a - b.
Primeiro, subtraímos os componentes:
a - b = (4,0 - 6,0)i + (-3,0 - (-8,0))j = -2,0,i + 5,0,j
Agora, calculamos o módulo:
|a - b| = raiz(-2,0)^2 + 5,0^2 = raiz4,0 + 25,0 = raiz29,0 approx 5,39 , m

Passo 11

(j) Calculando o ângulo de a - b em relação a i.
Usando a fórmula do ângulo:
thetaa-b = arctan(5,0-2,0) approx arctan(-2,5) approx -68,2^circ
Como o componente i é negativo e o j é positivo, o vetor está no segundo quadrante. O ângulo pode ser expresso como 180^circ - 68,2^circ = 111,8^circ.

Passo 12

(k) Determinando o ângulo entre as direções de b - a e a - b.
Sabemos que a - b = -(b - a). Isso significa que os dois vetores são opostos, ou seja, estão na mesma linha mas com sentidos contrários. Portanto, o ângulo entre eles é 180^circ.

Resposta

(a) 5,0 , m; (b) 323,13^circ; © 10,0 , m; (d) 306,87^circ; (e) 14,87 , m; (f) 312,27^circ; (g) 5,39 , m; (h) 291,8^circ; (i) 5,39 , m; (j) 111,8^circ; (k) 180^circ.

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