São dados dois vetores:
e
. Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação a i) de a. Determine © o módulo e (d) o ângulo de b. Determine (e) o módulo e (f) o ângulo de a + b; (g) o módulo e (h) o ângulo de b - a: (i) o módulo e (j) o ângulo de a - b. (k) Determine o ângulo entre as direções de b-a e a-b.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve dois vetores:
e
. O conteúdo da matéria envolve vetores no plano, onde vamos calcular módulos (comprimentos) e ângulos em relação ao eixo
. Para resolver, precisamos entender como calcular o módulo de um vetor e o ângulo que ele forma com o eixo
usando funções trigonométricas.
Passo 2
(a) Calculando o módulo de
.
O módulo de um vetor
é dado por:
Para
:
Passo 3
(b) Calculando o ângulo de
em relação a
.
O ângulo
que o vetor forma com o eixo
é dado por:
Para
:
Como o ângulo é negativo, significa que o vetor está abaixo do eixo
. Podemos também expressar como
.
Passo 4
© Calculando o módulo de
.
Usando a mesma fórmula:
Passo 5
(d) Calculando o ângulo de
em relação a
.
Aplicando a fórmula do ângulo:
Assim como antes, o ângulo negativo indica que o vetor está abaixo do eixo
. Podemos também expressar como
.
Passo 6
(e) Calculando o módulo de
.
Primeiro, somamos os componentes:
Agora, calculamos o módulo:
Passo 7
(f) Calculando o ângulo de
em relação a
.
Usando a fórmula do ângulo:
Expressando de forma positiva:
.
Passo 8
(g) Calculando o módulo de
.
Primeiro, subtraímos os componentes:
Agora, calculamos o módulo:
Passo 9
(h) Calculando o ângulo de
em relação a
.
Usando a fórmula do ângulo:
Expressando de forma positiva:
.
Passo 10
(i) Calculando o módulo de
.
Primeiro, subtraímos os componentes:
Agora, calculamos o módulo:
Passo 11
(j) Calculando o ângulo de
em relação a
.
Usando a fórmula do ângulo:
Como o componente
é negativo e o
é positivo, o vetor está no segundo quadrante. O ângulo pode ser expresso como
.
Passo 12
(k) Determinando o ângulo entre as direções de
e
.
Sabemos que
. Isso significa que os dois vetores são opostos, ou seja, estão na mesma linha mas com sentidos contrários. Portanto, o ângulo entre eles é
.
Resposta
(a)
; (b)
; ©
; (d)
; (e)
; (f)
; (g)
; (h)
; (i)
; (j)
; (k)
.