Um gás em um cilindro passa pelo seguinte processo termodinâmico de três etapas:
- Aquecimento isocórico: O gás é aquecido a volume constante de um estado inicial onde
até uma temperatura final
.
- Expansão Isotérmica: O gás então se expande isotermicamente em
K até que seu volume dobre.
- Compressão Adiabática: Finalmente, o gás é comprimido adiabaticamente de volta ao seu estado inicial.
Suponha que o gás seja monoatómico com
, &
.
(b) Verifique se a Primeira Lei da Termodinâmica é válida para todo o ciclo.
Suponha que o gás seja monoatómico com
(b) Verifique se a Primeira Lei da Termodinâmica é válida para todo o ciclo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a Primeira Lei da Termodinâmica aplicada a um ciclo termodinâmico. O enunciado nos apresenta um gás que passa por três etapas: aquecimento isocórico, expansão isotérmica e compressão adiabática. Nosso objetivo aqui é verificar se a Primeira Lei da Termodinâmica é válida para todo esse ciclo. Para isso, vamos precisar entender como calcular o calor e o trabalho em cada uma dessas etapas e depois ver se a energia interna total se mantém constante ao final do ciclo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Primeira Lei da Termodinâmica, que é basicamente uma versão da lei da conservação da energia para sistemas termodinâmicos. Ela pode ser escrita como:
Onde:
-
é a variação da energia interna do sistema. -
é o calor fornecido ao sistema. -
é o trabalho realizado pelo sistema.
No caso de um ciclo termodinâmico completo, o sistema retorna ao estado inicial, o que significa que a variação total da energia interna
é zero.
Passo 3
Vamos analisar cada uma das três etapas do ciclo:
1. Aquecimento Isocórico (Volume constante):
- Como o volume não varia, o trabalho realizado
nessa etapa é zero. - O calor
fornecido altera apenas a energia interna:
Para um gás monoatômico, a variação da energia interna é:
Onde
para um gás monoatômico.
2. Expansão Isotérmica (Temperatura constante):
- Nesse caso, a temperatura
permanece constante, então a variação da energia interna é zero. - O calor
fornecido é igual ao trabalho realizado:
O trabalho em uma expansão isotérmica é dado por:
3. Compressão Adiabática (Sem troca de calor):
- Como não há troca de calor,
. - Toda a variação da energia interna é igual ao trabalho realizado:
Para uma compressão adiabática, a relação entre temperatura e volume é:
Onde
.
Passo 4
Agora, somamos as contribuições de cada etapa para verificar a Primeira Lei no ciclo completo:
Onde:
Então:
Além disso, no ciclo completo, o trabalho total realizado
é igual à área do ciclo no diagrama
, e o calor total
é a soma dos calores fornecidos em cada etapa:
Para a Primeira Lei ser válida:
Como já vimos que
, a igualdade se mantém, confirmando que a Primeira Lei da Termodinâmica é válida para todo o ciclo.
Resposta
Sim, a Primeira Lei da Termodinâmica é válida para todo o ciclo, já que a soma dos calores fornecidos é igual ao trabalho realizado, garantindo que a variação total da energia interna seja nula.