Um gás em um cilindro passa pelo seguinte processo termodinâmico de três etapas:
  • Aquecimento isocórico: O gás é aquecido a volume constante de um estado inicial onde P1=100 kPa, V1=0.1 m^3 e1=300 K até uma temperatura final T2=600 K.
  • Expansão Isotérmica: O gás então se expande isotermicamente em T2=600 K até que seu volume dobre.
  • Compressão Adiabática: Finalmente, o gás é comprimido adiabaticamente de volta ao seu estado inicial.
    Suponha que o gás seja monoatómico com R=8.314 J / mol K, CV=(2 / 3) R, & Cp=(2 / 5) R.
    (b) Verifique se a Primeira Lei da Termodinâmica é válida para todo o ciclo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a Primeira Lei da Termodinâmica aplicada a um ciclo termodinâmico. O enunciado nos apresenta um gás que passa por três etapas: aquecimento isocórico, expansão isotérmica e compressão adiabática. Nosso objetivo aqui é verificar se a Primeira Lei da Termodinâmica é válida para todo esse ciclo. Para isso, vamos precisar entender como calcular o calor e o trabalho em cada uma dessas etapas e depois ver se a energia interna total se mantém constante ao final do ciclo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Primeira Lei da Termodinâmica, que é basicamente uma versão da lei da conservação da energia para sistemas termodinâmicos. Ela pode ser escrita como:
De
Onde:
  • De é a variação da energia interna do sistema.
  • Q é o calor fornecido ao sistema.
  • W é o trabalho realizado pelo sistema.
No caso de um ciclo termodinâmico completo, o sistema retorna ao estado inicial, o que significa que a variação total da energia interna De é zero.

Passo 3

Vamos analisar cada uma das três etapas do ciclo:
1. Aquecimento Isocórico (Volume constante):
  • Como o volume não varia, o trabalho realizado W nessa etapa é zero.
  • O calor Q1 fornecido altera apenas a energia interna:
Q1 = De
Para um gás monoatômico, a variação da energia interna é:
De
Onde CV = 32 R para um gás monoatômico.
2. Expansão Isotérmica (Temperatura constante):
  • Nesse caso, a temperatura T permanece constante, então a variação da energia interna De é zero.
  • O calor Q2 fornecido é igual ao trabalho W2 realizado:
Q2 = W2
O trabalho em uma expansão isotérmica é dado por:
W2 = nRT ln(V2V1)
3. Compressão Adiabática (Sem troca de calor):
  • Como não há troca de calor, Q3 = 0.
  • Toda a variação da energia interna é igual ao trabalho realizado:
De
Para uma compressão adiabática, a relação entre temperatura e volume é:
TV^gamma - 1 = constante
Onde gamma = CpCV.

Passo 4

Agora, somamos as contribuições de cada etapa para verificar a Primeira Lei no ciclo completo:
De
Onde:
  • De
  • De
  • De
Então:
Q1 - W3 = 0 implies Q1 = W3
Além disso, no ciclo completo, o trabalho total realizado Wtotal é igual à área do ciclo no diagrama P-V, e o calor total Qtotal é a soma dos calores fornecidos em cada etapa:
Qtotal = Q1 + Q2 + Q3 = Q1 + W2
Wtotal = W2 + W3
Para a Primeira Lei ser válida:
Qtotal = Wtotal
Q1 + W2 = W2 + W3 implies Q1 = W3
Como já vimos que Q1 = W3, a igualdade se mantém, confirmando que a Primeira Lei da Termodinâmica é válida para todo o ciclo.

Resposta

Sim, a Primeira Lei da Termodinâmica é válida para todo o ciclo, já que a soma dos calores fornecidos é igual ao trabalho realizado, garantindo que a variação total da energia interna seja nula.

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