Um gás em um cilindro passa pelo seguinte processo termodinâmico de três etapas:
- Aquecimento isocórico: O gás é aquecido a volume constante de um estado inicial onde
até uma temperatura final
.
- Expansão Isotérmica: O gás então se expande isotermicamente em
K até que seu volume dobre.
- Compressão Adiabática: Finalmente, o gás é comprimido adiabaticamente de volta ao seu estado inicial.
Suponha que o gás seja monoatómico com
, &
.
(a) Determine o trabalho total W , o calor Q e a mudança na energia interna
para cada etapa.
Suponha que o gás seja monoatómico com
(a) Determine o trabalho total W , o calor Q e a mudança na energia interna
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema tá pedindo. A gente tem um gás em um cilindro passando por três processos diferentes: aquecimento a volume constante, expansão isotérmica e compressão adiabática, voltando ao estado inicial. Precisamos encontrar o trabalho total $ W $, o calor $ Q $ e a mudança na energia interna $ \Delta U $ para cada uma dessas etapas. Para resolver isso, vamos precisar das leis dos gases ideais, das definições de processos isocóricos, isotérmicos e adiabáticos, além das fórmulas de trabalho e calor nesses processos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada processo:
- Aquecimento Isocórico: Volume constante. Como o volume não muda, o trabalho $ W $ nesse processo será zero.
- Expansão Isotérmica: Temperatura constante. Aqui, o trabalho e o calor trocado têm relações específicas.
- Compressão Adiabática: Sem troca de calor com o ambiente. Todo o trabalho está relacionado à mudança na energia interna.
Vamos também lembrar que para um gás monoatômico, as capacidades térmicas são:
Passo 3
Etapa 1: Aquecimento Isocórico
Como o volume é constante, o trabalho $ W $ é zero:
Para encontrar o calor $ Q_1 $, usamos:
Primeiro, precisamos achar a quantidade de mols $ n $. Usamos a equação dos gases ideais:
Agora, calculamos o calor:
A mudança na energia interna:
Passo 4
Etapa 2: Expansão Isotérmica
Aqui, a temperatura é constante, então $ \Delta U = 0 $. O trabalho $ W_2 $ pode ser calculado por:
Sabemos que o volume dobra:
Então:
Como $ \Delta U = 0 $, o calor $ Q_2 = -W_2 $:
Passo 5
Etapa 3: Compressão Adiabática
Nesse processo, não tem troca de calor ($ Q_3 = 0 $), então todo o trabalho está relacionado à mudança na energia interna:
Sabemos que o processo retorna ao estado inicial, então a energia interna total volta a ser a mesma. Então:
Portanto, o trabalho na compressão adiabática:
E o calor:
Resposta
Resumindo cada etapa:
-
Aquecimento Isocórico:
- Trabalho $ W_1 = 0 , J $
- Calor $ Q_1 \approx 6685 , J $
- Mudança na energia interna $ \Delta U_1 \approx 6685 , J $
-
Expansão Isotérmica:
- Trabalho $ W_2 \approx 13998 , J $
- Calor $ Q_2 \approx -13998 , J $
- Mudança na energia interna $ \Delta U_2 = 0 , J $
-
Compressão Adiabática:
- Trabalho $ W_3 \approx -6685 , J $
- Calor $ Q_3 = 0 , J $
- Mudança na energia interna $ \Delta U_3 \approx -6685 , J $