Um gás em um cilindro passa pelo seguinte processo termodinâmico de três etapas:
  • Aquecimento isocórico: O gás é aquecido a volume constante de um estado inicial onde P1=100 kPa, V1=0.1 m^3 e1=300 K até uma temperatura final T2=600 K.
  • Expansão Isotérmica: O gás então se expande isotermicamente em T2=600 K até que seu volume dobre.
  • Compressão Adiabática: Finalmente, o gás é comprimido adiabaticamente de volta ao seu estado inicial.
    Suponha que o gás seja monoatómico com R=8.314 J / mol K, CV=(2 / 3) R, & Cp=(2 / 5) R.
    (a) Determine o trabalho total W , o calor Q e a mudança na energia interna De para cada etapa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema tá pedindo. A gente tem um gás em um cilindro passando por três processos diferentes: aquecimento a volume constante, expansão isotérmica e compressão adiabática, voltando ao estado inicial. Precisamos encontrar o trabalho total $ W $, o calor $ Q $ e a mudança na energia interna $ \Delta U $ para cada uma dessas etapas. Para resolver isso, vamos precisar das leis dos gases ideais, das definições de processos isocóricos, isotérmicos e adiabáticos, além das fórmulas de trabalho e calor nesses processos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada processo:
  1. Aquecimento Isocórico: Volume constante. Como o volume não muda, o trabalho $ W $ nesse processo será zero.
  2. Expansão Isotérmica: Temperatura constante. Aqui, o trabalho e o calor trocado têm relações específicas.
  3. Compressão Adiabática: Sem troca de calor com o ambiente. Todo o trabalho está relacionado à mudança na energia interna.
Vamos também lembrar que para um gás monoatômico, as capacidades térmicas são:
W
CV = 23R

Passo 3

Etapa 1: Aquecimento Isocórico
Como o volume é constante, o trabalho $ W $ é zero:
W
Para encontrar o calor $ Q_1 $, usamos:
W1 = 0
Primeiro, precisamos achar a quantidade de mols $ n $. Usamos a equação dos gases ideais:
Q1
Q = n CV De
n
Agora, calculamos o calor:
P V = n R T
n = P1 V1R T1 = 100 times 10^3 , Pa times 0.1 , m^38.314 , J/mol K times 300 , K
n approx 4.01 , mols
A mudança na energia interna:
De

Passo 4

Etapa 2: Expansão Isotérmica
Aqui, a temperatura é constante, então $ \Delta U = 0 $. O trabalho $ W_2 $ pode ser calculado por:
De
Sabemos que o volume dobra:
W2
Então:
W = n R T ln ( VfVi )
VfVi = 2
W2 = 4.01 times 8.314 times 600 times ln(2)
Como $ \Delta U = 0 $, o calor $ Q_2 = -W_2 $:
W2 approx 4.01 times 8.314 times 600 times 0.693

Passo 5

Etapa 3: Compressão Adiabática
Nesse processo, não tem troca de calor ($ Q_3 = 0 $), então todo o trabalho está relacionado à mudança na energia interna:
Q3 = 0
Sabemos que o processo retorna ao estado inicial, então a energia interna total volta a ser a mesma. Então:
De
De
Portanto, o trabalho na compressão adiabática:
De
E o calor:
W3 = -6685 , J

Resposta

Resumindo cada etapa:
  1. Aquecimento Isocórico:
    • Trabalho $ W_1 = 0 , J $
    • Calor $ Q_1 \approx 6685 , J $
    • Mudança na energia interna $ \Delta U_1 \approx 6685 , J $
  2. Expansão Isotérmica:
    • Trabalho $ W_2 \approx 13998 , J $
    • Calor $ Q_2 \approx -13998 , J $
    • Mudança na energia interna $ \Delta U_2 = 0 , J $
  3. Compressão Adiabática:
    • Trabalho $ W_3 \approx -6685 , J $
    • Calor $ Q_3 = 0 , J $
    • Mudança na energia interna $ \Delta U_3 \approx -6685 , J $

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