Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma para fixo. Seja uma solução qualquer da equaçāo diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relaçāo ao comportamento das soluções quando ?
a. .
.
b . .
c. não está definido e

não está definido e .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Sabemos que essa equação admite uma solução da forma , onde é uma constante fixa. O que precisamos descobrir é qual das alternativas (a, b ou c) descreve corretamente o comportamento das soluções quando tende ao infinito ( ).
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos usando técnicas de resolução de equações diferenciais e análise assintótica.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a solução proposta na equação diferencial para encontrar o valor de .
Calculando as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação diferencial:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Fatorando :
Como nunca é zero, podemos igualar o restante a zero:

Passo 4

Para que essa igualdade seja válida para , todos os coeficientes dos termos de diferentes potências de devem ser iguais a zero. No entanto, isso só é possível se todos os coeficientes forem zero, o que não acontece a menos que , o que não faz sentido para a solução proposta.
Isso indica que a forma da solução sugerida pode não ser a mais adequada, ou precisamos considerar termos dominantes quando tende ao infinito.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento dominante dos termos quando tende ao infinito. Observando os termos com as potências mais altas de , que são os que dominam o comportamento assintótico:
Para que essa aproximação seja válida, o termo de maior ordem deve cancelar, mas isso só ocorre se for tal que:
o que não é possível. Isso sugere que a solução proposta cresce muito rapidamente para satisfazer a equação diferencial à medida que tende ao infinito.

Passo 6

Com base nisso, podemos analisar as alternativas fornecidas:
  • Alternativa a e b envolvem limites específicos que dependem de e suas derivadas em . Porém, pela análise acima, sabemos que cresce exponencialmente com , o que afeta esses limites.
  • Alternativa c afirma que e não estão definidos e que . Dado que cresce exponencialmente se for positivo, o limite de não seria zero, mas infinito.
Portanto, a Alternativa b é a que melhor descreve o comportamento assintótico da solução.

Resposta

b. . .

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a

b

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