Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Seja
uma solução qualquer da equaçāo diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relaçāo ao comportamento das soluções quando
?
a.
.
.
b
.
.
c.
não está definido e
não está definido e
.
a.
b
c.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Sabemos que essa equação admite uma solução da forma
, onde
é uma constante fixa. O que precisamos descobrir é qual das alternativas (a, b ou c) descreve corretamente o comportamento das soluções
quando
tende ao infinito (
).
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos usando técnicas de resolução de equações diferenciais e análise assintótica.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a solução proposta
na equação diferencial para encontrar o valor de
.
Calculando as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Fatorando
:
Como
nunca é zero, podemos igualar o restante a zero:
Passo 4
Para que essa igualdade seja válida para
, todos os coeficientes dos termos de diferentes potências de
devem ser iguais a zero. No entanto, isso só é possível se todos os coeficientes forem zero, o que não acontece a menos que
, o que não faz sentido para a solução proposta.
Isso indica que a forma da solução sugerida
pode não ser a mais adequada, ou precisamos considerar termos dominantes quando
tende ao infinito.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento dominante dos termos quando
tende ao infinito. Observando os termos com as potências mais altas de
, que são os que dominam o comportamento assintótico:
Para que essa aproximação seja válida, o termo de maior ordem deve cancelar, mas isso só ocorre se
for tal que:
o que não é possível. Isso sugere que a solução proposta cresce muito rapidamente para satisfazer a equação diferencial à medida que
tende ao infinito.
Passo 6
Com base nisso, podemos analisar as alternativas fornecidas:
-
Alternativa a e b envolvem limites específicos que dependem de
e suas derivadas em . Porém, pela análise acima, sabemos que cresce exponencialmente com , o que afeta esses limites. -
Alternativa c afirma que
e não estão definidos e que . Dado que cresce exponencialmente se for positivo, o limite de não seria zero, mas infinito.
Portanto, a Alternativa b é a que melhor descreve o comportamento assintótico da solução.
Resposta
b.
.
.
Exercícios relacionados
Calcular a área aproximada limitada pela função
, com
e
, utilizando a fórmula de Simpson com um intervalo de
.
Encontrar a equação do primeiro grau que mais se aproxima da sequência de pontos apresentados na tabela:
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
|
0,98 |
|
|
|
|
Considere o seguinte PVI
Encontre a soluçäo do PVI. Qual das seguintes alternativas representa a solução do PVI,
, calculada em
?
a
b
a
b
Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes
e
:
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