Considere a equação diferencial
t d^2 yd t^2+(-4+10 t^5) d yd t+250 t^9 y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^3 para r fixo. Seja y(t) uma solução qualquer da equaçāo diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relaçāo ao comportamento das soluções quando t +infty ?
a. lim t +infty t^-6 e^-1+t^5 y(t)=y^prime(1)5+y(1).
d lim t +infty e^2-2 t^5 y(t)=y^prime(1)30+2 y(1)3.
b lim t +infty t^-5 e^-1+t^5 y(t)=y^prime(1)5+y(1). lim t +infty e^1-t^5 y(t)=y^prime(1)30+2 y(1)3.
c. lim t +infty e^2 t^5 y(t) não está definido e
lim t +infty
lim t +infty e^t^5 y(t) não está definido e lim t +infty y(t)=0.
+1 / 1 / 60+

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
t d^2 yd t^2 + (-4 + 10 t^5) d yd t + 250 t^9 y = 0, para t > 0
Sabemos que essa equação admite uma solução da forma , onde é uma constante fixa. O que precisamos descobrir é qual das alternativas (a, b ou c) descreve corretamente o comportamento das soluções quando tende ao infinito ( ).
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos usando técnicas de resolução de equações diferenciais e análise assintótica.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a solução proposta d yd t = dd t ( e^r t^3 ) = 3 r t^2 e^r t^3, na equação diferencial para encontrar o valor de d^2 yd t^2 = dd t ( 3 r t^2 e^r t^3 ) = 6 r t e^r t^3 + 9 r^2 t^4 e^r t^3 .
Calculando as derivadas de t ( 6 r t e^r t^3 + 9 r^2 t^4 e^r t^3 ) + ( -4 + 10 t^5 ) ( 3 r t^2 e^r t^3 ) + 250 t^9 e^r t^3 = 0 :
Agora, substituímos , e na equação diferencial:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão:
6 r t^2 e^r t^3 + 9 r^2 t^5 e^r t^3 - 12 r t^2 e^r t^3 + 30 r t^7 e^r t^3 + 250 t^9 e^r t^3 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(6 r t^2 - 12 r t^2) e^r t^3 + 9 r^2 t^5 e^r t^3 + 30 r t^7 e^r t^3 + 250 t^9 e^r t^3 = 0,
-6 r t^2 e^r t^3 + 9 r^2 t^5 e^r t^3 + 30 r t^7 e^r t^3 + 250 t^9 e^r t^3 = 0
Fatorando e^r t^3 ( -6 r t^2 + 9 r^2 t^5 + 30 r t^7 + 250 t^9 ) = 0 :
-6 r t^2 + 9 r^2 t^5 + 30 r t^7 + 250 t^9 = 0
Como nunca é zero, podemos igualar o restante a zero:

Passo 4

Para que essa igualdade seja válida para , todos os coeficientes dos termos de diferentes potências de devem ser iguais a zero. No entanto, isso só é possível se todos os coeficientes forem zero, o que não acontece a menos que , o que não faz sentido para a solução proposta.
Isso indica que a forma da solução sugerida pode não ser a mais adequada, ou precisamos considerar termos dominantes quando tende ao infinito.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento dominante dos termos quando 30 r t^7 + 250 t^9 approx 0 tende ao infinito. Observando os termos com as potências mais altas de 250 t^9 approx 0, , que são os que dominam o comportamento assintótico:
Para que essa aproximação seja válida, o termo de maior ordem deve cancelar, mas isso só ocorre se for tal que:
o que não é possível. Isso sugere que a solução proposta cresce muito rapidamente para satisfazer a equação diferencial à medida que tende ao infinito.

Passo 6

Com base nisso, podemos analisar as alternativas fornecidas:
  • Alternativa a e b envolvem limites específicos que dependem de e suas derivadas em . Porém, pela análise acima, sabemos que cresce exponencialmente com , o que afeta esses limites.
  • Alternativa c afirma que e não estão definidos e que . Dado que cresce exponencialmente se for positivo, o limite de não seria zero, mas infinito.
Portanto, a Alternativa b é a que melhor descreve o comportamento assintótico da solução.

Resposta

b. . .

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