Considere o seguinte PVI
Encontre a soluçäo do PVI. Qual das seguintes alternativas representa a solução do PVI,
, calculada em
?
a
b
a
b
Passo 1
Vamos resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) para uma equação diferencial de segunda ordem. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação dada e as condições iniciais. Usaremos métodos de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicaremos as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral. Por fim, calcularemos o valor de
para identificar a alternativa correta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dada:
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
A equação característica é:
As raízes são
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Vamos dividir isso em duas partes: uma para o termo constante
e outra para o termo
.
Para o termo constante
:
Assumimos uma solução particular da forma
. Derivando:
Substituindo na equação:
Portanto,
. Como
será absorvido na solução homogênea, podemos considerar
.
Para o termo
:
Assumimos uma solução particular da forma
. Derivando:
Substituindo na equação:
Portanto,
.
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e das soluções particulares:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeira condição
:
Segunda condição
:
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Substituindo
na equação
:
Passo 7
Agora, temos todas as constantes determinadas. A solução particular completa é:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular
:
Simplificando os termos constantes:
Portanto:
Resposta
A alternativa correta que representa
é:
b
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Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Seja
uma solução qualquer da equaçāo diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relaçāo ao comportamento das soluções quando
?
a. .
.
b .
.
c. não está definido e
não está definido e
.
a.
b
c.
Calcular a área aproximada limitada pela função
, com
e
, utilizando a fórmula de Simpson com um intervalo de
.
Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes
e
:
©
©
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.