Considere o seguinte PVI
{ 4y'' - 16y' = 2 - 3e^{-4t}, y(0) = 1/4, y'(0) = 127/32 }
Encontre a soluçäo do PVI. Qual das seguintes alternativas representa a solução do PVI, y(t), calculada em t = 1 ?
a y(1) = 23/64 * e^(4) + 37/64 * e^(-4) - 1/8
y(1)=e^4 - 3/128 * e^(-4) - 109/128
b y(1) = 291/256 * e^2 - 221/256 * e^(-2) - 3/128 * e^(-4) - 1/8
y(1) = 127/128 e^4 - 3/128 e^-4 - 111/128
y(1) = 147/128 e^2 - 91/128 e^-2 - 1/16 e^-4 - 1/8

Passo 1

Vamos resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) para uma equação diferencial de segunda ordem. O objetivo é encontrar a função que satisfaz a equação dada e as condições iniciais. Usaremos métodos de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicaremos as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral. Por fim, calcularemos o valor de para identificar a alternativa correta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dada:
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
A equação característica é:
As raízes são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos dividir isso em duas partes: uma para o termo constante e outra para o termo .
Para o termo constante :
Assumimos uma solução particular da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Portanto, . Como será absorvido na solução homogênea, podemos considerar .
Para o termo :
Assumimos uma solução particular da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Portanto, .

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e das soluções particulares:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeira condição :
Segunda condição :
Primeiro, calculamos a derivada de :
Aplicando :
Substituindo na equação :

Passo 7

Agora, temos todas as constantes determinadas. A solução particular completa é:

Passo 8

Finalmente, vamos calcular :
Simplificando os termos constantes:
Portanto:

Resposta

A alternativa correta que representa é:
b

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