Considere o seguinte PVI
Encontre a soluçäo do PVI. Qual das seguintes alternativas representa a solução do PVI, , calculada em ?
a

b

Passo 1

Vamos resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) para uma equação diferencial de segunda ordem. O objetivo é encontrar a função que satisfaz a equação dada e as condições iniciais. Usaremos métodos de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicaremos as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral. Por fim, calcularemos o valor de para identificar a alternativa correta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial dada:
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
A equação característica é:
As raízes são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos dividir isso em duas partes: uma para o termo constante e outra para o termo .
Para o termo constante :
Assumimos uma solução particular da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Portanto, . Como será absorvido na solução homogênea, podemos considerar .
Para o termo :
Assumimos uma solução particular da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Portanto, .

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e das soluções particulares:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeira condição :
Segunda condição :
Primeiro, calculamos a derivada de :
Aplicando :
Substituindo na equação :

Passo 7

Agora, temos todas as constantes determinadas. A solução particular completa é:

Passo 8

Finalmente, vamos calcular :
Simplificando os termos constantes:
Portanto:

Resposta

A alternativa correta que representa é:
b

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a. .
.
b . .
c. não está definido e

não está definido e .
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©
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