Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes x e y :
© u_xx - 4 u_x + 3 u = e^(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial parcial (EDP) dada nas variáveis independentes e :
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem em relação a . Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações lineares não homogêneas de segunda ordem. Nossa meta é encontrar a função que satisfaz essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. A solução geral dessa equação é dada pela soma das soluções da equação característica.

Passo 3

Montamos a equação característica substituindo :
Dividindo por (que nunca é zero), temos:

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma:

Passo 7

Calculamos as derivadas de :
Substituímos na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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