Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes
e
:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial parcial (EDP) dada nas variáveis independentes
e
:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações lineares não homogêneas de segunda ordem. Nossa meta é encontrar a função
que satisfaz essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. A solução geral dessa equação é dada pela soma das soluções da equação característica.
Passo 3
Montamos a equação característica substituindo
:
Dividindo por
(que nunca é zero), temos:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação não homogênea:
Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular da forma:
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.