Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes e :
©

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial parcial (EDP) dada nas variáveis independentes e :
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem em relação a . Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações lineares não homogêneas de segunda ordem. Nossa meta é encontrar a função que satisfaz essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. A solução geral dessa equação é dada pela soma das soluções da equação característica.

Passo 3

Montamos a equação característica substituindo :
Dividindo por (que nunca é zero), temos:

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular da forma:

Passo 7

Calculamos as derivadas de :
Substituímos na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Considere o seguinte PVI
Encontre a soluçäo do PVI. Qual das seguintes alternativas representa a solução do PVI, , calculada em ?
a

b

Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma para fixo. Seja uma solução qualquer da equaçāo diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relaçāo ao comportamento das soluções quando ?
a. .
.
b . .
c. não está definido e

não está definido e .
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.