Considere a equação diferencial abaixo:
a) De que tipo é esta equação diferencial? Justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial e precisamos identificar de que tipo ela é. Vamos usar conceitos de Equações Diferenciais de Primeira Ordem para fazer essa classificação.
Passo 2
A equação dada é:
Vamos reescrever essa equação para facilitar a análise. Podemos colocar todos os termos com
de um lado e com
do outro:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever a expressão de modo que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro.
No nosso caso, ao olhar para a expressão:
Não conseguimos separar facilmente os termos de
e
, pois eles estão misturados na mesma expressão.
Passo 4
Vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma:
Comparando com a nossa equação:
Percebemos que o termo com
está multiplicado por fatores que dependem de
também, o que não se encaixa na forma linear padrão. Portanto, a equação não é linear.
Passo 5
Vamos agora verificar se a equação é exata. Para isso, primeiro, colocamos a equação na forma:
Rearranjando a equação original, temos:
Para que a equação seja exata, deve-se satisfazer:
Calculando as derivadas parciais:
Observamos que:
Como essas derivadas não são iguais, a equação não é exata.
Passo 6
Como a equação não é separável, não é linear e não é exata, concluímos que ela não pertence aos tipos clássicos de equações diferenciais de primeira ordem.
Resposta
A equação diferencial dada é uma equação de primeira ordem não linear.
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Calcule a integral:
Encontre a solução geral de cada equação dada utilizando o método de variação de parâmetros:
;
Considere a região R entre
e
.
a) Faça um esboço da região R.
a) Faça um esboço da região R.
Considere a equação diferencial abaixo:
b) Resolva esta equação diferencial.