Considere a equação diferencial
A partir da equação diferencial, encontre a sua solução geral. Qual das alternativas a seguir representa a solução geral da equação?
.
d
.
b
.
e]
.
c
.
f
.
d
b
e]
c
f
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo:
O conteúdo envolvido aqui é sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Para isso, dividimos toda a equação original por
:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Com o fator integrante
, multiplicamos toda a equação padrão por
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Simplificando a integral usando a identidade trigonométrica
:
Portanto:
Passo 6
Isolando
:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Substituindo de volta:
Agrupando os termos semelhantes:
Como
é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la para absorver
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Isso corresponde à alternativa a).