Considere a equação diferencial
cos(8t) dy/dt - 8sen(8t)y = -8sen(8t)cos(8t)
A partir da equação diferencial, encontre a sua solução geral. Qual das alternativas a seguir representa a solução geral da equação?
y(t) = cos(8t)/2 + c/cos(8t).
d y(t) = cos(8 t) - 1 + c * e^(-cos(8 t)).
b y(t) = cos(8 t)^2 / 8 + c e^(-cos(8 t)).
e] y(t) = cos(8t)^2 / 3 + c / cos(8t).
c y(t) = cos(8t)/2 + c e^(-cos(8t)).
f y(t) = 1 + c * e^(-cos(8 * t)).

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo:
O conteúdo envolvido aqui é sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Para isso, dividimos toda a equação original por :
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo P(t):
Sabemos que , então:

Passo 4

Com o fator integrante , multiplicamos toda a equação padrão por :
Isso simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t:
Simplificando a integral usando a identidade trigonométrica :
Portanto:

Passo 6

Isolando y(t):
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Substituindo de volta:
Agrupando os termos semelhantes:
Como C é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la para absorver -1/4:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Isso corresponde à alternativa a).

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