Considere a equação diferencial
A partir da equação diferencial, encontre a sua solução geral. Qual das alternativas a seguir representa a solução geral da equação?
.
d .
b .
e] .
c .
f .

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo:
O conteúdo envolvido aqui é sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Para isso, dividimos toda a equação original por :
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :
Sabemos que , então:

Passo 4

Com o fator integrante , multiplicamos toda a equação padrão por :
Isso simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Simplificando a integral usando a identidade trigonométrica :
Portanto:

Passo 6

Isolando :
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Substituindo de volta:
Agrupando os termos semelhantes:
Como é uma constante arbitrária, podemos renomeá-la para absorver :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Isso corresponde à alternativa a).

Exercícios relacionados

Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=\log _{a}|x|
Encontre os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente e estude a concavidade da função .
Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=4-2[3 \operatorname{sen}[2 x-\pi]
Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
a .

b .
e) .
c .
f .