Encontre os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente e estude a concavidade da função
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de Cálculo Diferencial. A questão pede pra gente encontrar os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo e também estudar a concavidade dela. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que nos ajuda a saber onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de
é:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos resolver
para encontrar os pontos críticos:
Podemos fatorar:
Resolvendo
e
:
Então,
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos
,
e
:
-
Intervalo
:
Escolha: Negativo: a função está decrescendo. -
Intervalo
:
Escolha: Positivo: a função está crescendo. -
Intervalo
:
Escolha: Negativo: a função está decrescendo. -
Intervalo
:
Escolha: Positivo: a função está crescendo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
para estudar a concavidade:
Vamos resolver
:
Então, os pontos de inflexão são
e
.
Passo 6
Vamos analisar o sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos de inflexão:
-
Intervalo
:
Escolha: Positivo: a função é côncava para cima. -
Intervalo
:
Escolha: Negativo: a função é côncava para baixo. -
Intervalo
:
Escolha: Positivo: a função é côncava para cima.
Resposta
A função
está:
- Crescente nos intervalos
e . - Decrescente nos intervalos
e .
Quanto à concavidade:
- Côncava para cima nos intervalos
e . - Côncava para baixo no intervalo
.