Encontre os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente e estude a concavidade da função .

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de Cálculo Diferencial. A questão pede pra gente encontrar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo e também estudar a concavidade dela. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que nos ajuda a saber onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de é:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos resolver para encontrar os pontos críticos:
Podemos fatorar:
Resolvendo e :
Então, e .

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal de nos intervalos determinados pelos pontos críticos , e :
  1. Intervalo :
    Escolha :
    Negativo: a função está decrescendo.
  2. Intervalo :
    Escolha :
    Positivo: a função está crescendo.
  3. Intervalo :
    Escolha :
    Negativo: a função está decrescendo.
  4. Intervalo :
    Escolha :
    Positivo: a função está crescendo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para estudar a concavidade:
Vamos resolver :
Então, os pontos de inflexão são e .

Passo 6

Vamos analisar o sinal de nos intervalos determinados pelos pontos de inflexão:
  1. Intervalo :
    Escolha :
    Positivo: a função é côncava para cima.
  2. Intervalo :
    Escolha :
    Negativo: a função é côncava para baixo.
  3. Intervalo :
    Escolha :
    Positivo: a função é côncava para cima.

Resposta

A função está:
  • Crescente nos intervalos e .
  • Decrescente nos intervalos e .
Quanto à concavidade:
  • Côncava para cima nos intervalos e .
  • Côncava para baixo no intervalo .

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Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=\log _{a}|x|
Considere a equação diferencial
A partir da equação diferencial, encontre a sua solução geral. Qual das alternativas a seguir representa a solução geral da equação?
.
d .
b .
e] .
c .
f .