Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
{ dy/dx = (2x - 2) / (3y^2 + 18y + 15) ; y(1 - raiz(15)) = 0 }
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
a (1 - 2 * raiz(10), 1 - raiz(8)).
quadrado(-infinito, 1 - raiz(8))
b (-inf, 1 + raiz(8)).
e) (1 - 2 * raiz(10), 1 + raiz(8)).
c (-infinito, 1 + 2 * raiz(10)).
f (1 - 2 * raiz(10), 1 + 2 * raiz(10)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. O enunciado é:
{ dy/dx = (2x - 2) / (3y^2 + 18y + 15) ; y(1 - raiz(15)) = 0 }
Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial e encontrar a solução do PVI. Além disso, precisamos determinar qual das alternativas dadas representa o intervalo de validade dessa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial. Observamos que o denominador pode ser fatorado:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado:

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados:
Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar cada lado:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:

Passo 6

Igualamos as integrais:
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar . Sabemos que quando , :
Simplificando:

Passo 7

Substituindo na equação geral:
Essa é a solução implícita do PVI. Para encontrar explicitamente, seria necessário resolver uma equação cúbica, o que é complicado. Porém, para determinar o intervalo de validade, precisamos analisar onde a solução é válida.

Passo 8

O intervalo de validade está relacionado aos valores de para os quais a solução é contínua e diferenciável. Observando o denominador da equação diferencial original:
Além disso, a solução deve satisfazer a condição inicial .
Ao analisar as alternativas, a que cobre o intervalo onde a função não se aproxima dos valores que tornam o denominador zero é:

Resposta

A alternativa e) representa o intervalo de validade da solução do PVI dado.

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