Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
a
.
b
.
e)
.
c
.
f
.
a
b
e)
c
f
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. O enunciado é:
Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial e encontrar a solução do PVI. Além disso, precisamos determinar qual das alternativas dadas representa o intervalo de validade dessa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial. Observamos que o denominador pode ser fatorado:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados:
Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar cada lado:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 6
Igualamos as integrais:
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
:
Simplificando:
Passo 7
Substituindo
na equação geral:
Essa é a solução implícita do PVI. Para encontrar
explicitamente, seria necessário resolver uma equação cúbica, o que é complicado. Porém, para determinar o intervalo de validade, precisamos analisar onde a solução é válida.
Passo 8
O intervalo de validade está relacionado aos valores de
para os quais a solução é contínua e diferenciável. Observando o denominador da equação diferencial original:
Além disso, a solução deve satisfazer a condição inicial
.
Ao analisar as alternativas, a que cobre o intervalo onde a função não se aproxima dos valores que tornam o denominador zero é:
Resposta
A alternativa e)
representa o intervalo de validade da solução do PVI dado.