Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=\log _{a}|x|
f(x)=\log _{a}|x|
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos a função
e precisamos determinar o domínio e a imagem dessa função. Estamos trabalhando com funções logarítmicas, então vamos precisar lembrar das propriedades do logaritmo para identificar os valores de
que tornam a função válida e os possíveis valores de saída.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio de uma função logarítmica
requer que o argumento
seja sempre positivo, ou seja,
. No nosso caso, o argumento é
, que é o valor absoluto de
.
Sabemos que
é sempre positivo, exceto quando
. Portanto, para que
esteja definida,
. Isso implica que
pode ser qualquer número real diferente de zero.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de
.
A função logarítmica
pode assumir qualquer valor real, desde que
. Como
pode variar de 0 a
(sem incluir zero),
pode resultar em qualquer número real. Ou seja, conforme
se aproxima de zero,
tende a
, e conforme
aumenta indefinidamente,
também aumenta indefinidamente.
Resposta
O domínio da função é
e a imagem é
.