Considere a equação diferencial
A partir da equação diferencial, encontre a sua solução geral. Qual das alternativas a seguir representa a solução geral da equação?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou:
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para que ela fique no formato padrão das equações lineares:
Para isso, dividimos todos os termos por
(desde que
):
Simplificando a fração:
Agora, identificamos:
Passo 3
Vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Lembrando que
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito. Note que:
Usando a identidade
:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Uma curva de uma estrada é um arco de um círculo cujo diâmetro mede 250 metros. Sabendo que a curva tem 50 metros de comprimento, determine em quantos graus a estrada muda sua direção
Determine a inversa de cada função, se existir.
f(x)=8 x^{3}
f(x)=8 x^{3}
Desenhe uma função que seja continua mas não diferenciável em
.
Determine