Considere a equação diferencial
cos(8t) dy/dt - 8sen(8t)y = -8sen(8t)cos(8t)
A partir da equação diferencial, encontre a sua solução geral. Qual das alternativas a seguir representa a solução geral da equação?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou:
cos(8t) dy/dt - 8sen(8t)y = -8sen(8t)cos(8t)
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para que ela fique no formato padrão das equações lineares:
Para isso, dividimos todos os termos por (desde que ):
Simplificando a fração:
Agora, identificamos:

Passo 3

Vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo P(t):
Lembrando que , temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito. Note que:
Usando a identidade :

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos y dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é a constante de integração.

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