Resolva os seguintes PVIs:

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos um problema de valor inicial (PVI) onde a equação diferencial é , com as condições iniciais e . O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais de segunda ordem não lineares, e vamos precisar aplicar métodos de integração e manipulação de equações para resolver.

Passo 2

Vamos começar simplificando a equação diferencial dada: . Note que é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada. Podemos reescrever essa equação de forma que facilite a integração.
Observamos que . Isso é porque, derivando em relação a , obtemos .
Então, temos:

Passo 3

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Agora, isolamos :

Passo 5

Para encontrar , integramos em relação a :
onde é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes e . Primeiro, usamos :
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 7

Com , a equação para fica:
Agora, integramos novamente para encontrar :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução do PVI é:

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Resolva os seguintes PVIs:
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N 1. Resolva cada um dos problemas de valor inicial a seguir e desenhe os gráficos das soluções para diversos valores de . Depois descreva, em poucas palavras, as semelhanças e diferenças entre as soluções.
a.
  1. Considere a equação diferencial
em que e são números positivos.
a. Encontre a solução geral da equação diferencial.