Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos um problema de valor inicial (PVI) onde a equação diferencial é , com as condições iniciais e . O conteúdo envolvido aqui é de equações diferenciais de segunda ordem não lineares, e vamos precisar aplicar métodos de integração e manipulação de equações para resolver.
Passo 2
Vamos começar simplificando a equação diferencial dada: . Note que é a segunda derivada de em relação a , e é a primeira derivada. Podemos reescrever essa equação de forma que facilite a integração.
Observamos que . Isso é porque, derivando em relação a , obtemos .
Então, temos:
Passo 3
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Agora, isolamos :
Passo 5
Para encontrar , integramos em relação a :
onde é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes e . Primeiro, usamos :