Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a solução
que satisfaça a condição inicial fornecida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O que temos aqui é uma equação que relaciona as derivadas de
em função de
. Para resolver, vamos usar conceitos de equações diferenciais, especialmente as equações separáveis. Precisamos manipular a equação para separar as variáveis
e
e depois integrar para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a separação das variáveis. A equação é:
Queremos isolar
em um lado e
no outro. Para isso, dividimos ambos os lados por
e por
:
Passo 3
Agora, temos a equação separada:
O próximo passo é integrar ambos os lados. A integração nos ajudará a encontrar uma relação entre
e
.
Passo 4
Vamos integrar o lado esquerdo:
E o lado direito:
Para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. Assim, a integral se torna:
Passo 5
Agora, juntando as integrações, temos:
Onde
é uma constante arbitrária. Podemos simplificar essa expressão para resolver
:
Onde
é uma nova constante.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é:
Exercícios relacionados
Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI):
Resolva a equação diferencial dada e encontre a função
que satisfaça a condição inicial fornecida.
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a função
que satisfaça a condição inicial.
Considere a equação diferencial:
ou, utilizando a notação
:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.