Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a solução que satisfaça a condição inicial fornecida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O que temos aqui é uma equação que relaciona as derivadas de em função de . Para resolver, vamos usar conceitos de equações diferenciais, especialmente as equações separáveis. Precisamos manipular a equação para separar as variáveis e e depois integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a separação das variáveis. A equação é:
Queremos isolar em um lado e no outro. Para isso, dividimos ambos os lados por e por :

Passo 3

Agora, temos a equação separada:
O próximo passo é integrar ambos os lados. A integração nos ajudará a encontrar uma relação entre e .

Passo 4

Vamos integrar o lado esquerdo:
E o lado direito:
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. Seja , então . Assim, a integral se torna:

Passo 5

Agora, juntando as integrações, temos:
Onde é uma constante arbitrária. Podemos simplificar essa expressão para resolver :
Onde é uma nova constante.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é:

Exercícios relacionados

Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI):
Resolva a equação diferencial dada e encontre a função que satisfaça a condição inicial fornecida.
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a função que satisfaça a condição inicial.
Considere a equação diferencial:
ou, utilizando a notação :
Resolva a equação diferencial e determine a solução .