Considere a equação diferencial
Determine uma região do plano
tal que a equação tenha uma única solução passando por um ponto
da região;
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a equação diferencial
. O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Ordinárias do primeiro grau. Para resolver esse problema, vamos precisar entender sobre a existência e unicidade de soluções para equações diferenciais, principalmente utilizando o Teorema de Picard-Lindelöf.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação diferencial que temos. A equação
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, já que envolve apenas a primeira derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, queremos determinar uma região no plano
onde essa equação tem uma única solução passando por um ponto
. Para isso, usamos o Teorema de Picard-Lindelöf, que nos diz que se a função
e sua derivada parcial em relação a
são contínuas em uma região ao redor do ponto
, então existe uma solução única passando por esse ponto.
Passo 4
Vamos verificar a continuidade de
e de
na região desejada. Temos:
Ambas as expressões são polinomiais em
e, portanto, são contínuas em todo o plano
. Isso significa que para qualquer ponto
, existe uma região ao redor desse ponto onde a solução é única.
Passo 5
Como não há restrições na continuidade de
e de sua derivada parcial, a região onde a equação
tem uma única solução passando por
é todo o plano
. Não há pontos onde a unicidade não seja garantida.
Resposta
A equação diferencial
possui uma única solução passando por qualquer ponto
no plano
. Portanto, a região onde a equação tem uma única solução é todo o plano
.
Exercícios relacionados
Determinar as soluções das equações:
Verifique a ordem das Equações Diferenciais. Em seguida, verifique se as funções ao lado são suas respectivas soluções.
, solução:
.
Considere a equação diferencial
Mostre que
satisfaz a equação diferencial e a condição inicial
;
Resolva a EDO dada por separação de variável