Considere a equação diferencial
Determine uma região do plano tal que a equação tenha uma única solução passando por um ponto da região;

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a equação diferencial . O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Ordinárias do primeiro grau. Para resolver esse problema, vamos precisar entender sobre a existência e unicidade de soluções para equações diferenciais, principalmente utilizando o Teorema de Picard-Lindelöf.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação diferencial que temos. A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, já que envolve apenas a primeira derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, queremos determinar uma região no plano onde essa equação tem uma única solução passando por um ponto . Para isso, usamos o Teorema de Picard-Lindelöf, que nos diz que se a função e sua derivada parcial em relação a são contínuas em uma região ao redor do ponto , então existe uma solução única passando por esse ponto.

Passo 4

Vamos verificar a continuidade de e de na região desejada. Temos:
Ambas as expressões são polinomiais em e, portanto, são contínuas em todo o plano . Isso significa que para qualquer ponto , existe uma região ao redor desse ponto onde a solução é única.

Passo 5

Como não há restrições na continuidade de e de sua derivada parcial, a região onde a equação tem uma única solução passando por é todo o plano . Não há pontos onde a unicidade não seja garantida.

Resposta

A equação diferencial possui uma única solução passando por qualquer ponto no plano . Portanto, a região onde a equação tem uma única solução é todo o plano .

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