Considere a equação diferencial
Mostre que
satisfaz a equação diferencial e a condição inicial
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por
A tarefa é mostrar que a função
satisfaz essa equação diferencial e também a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a derivada da função tangente e como substituir a função na equação diferencial.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
. Sabemos da regra de derivação que:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação diferencial original:
Observamos que ambos os lados da equação são iguais, ou seja,
Isso confirma que a função
satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Por fim, vamos verificar a condição inicial
. Substituindo
na função
:
Portanto, a condição inicial também é satisfeita.
Resposta
A função
satisfaz a equação diferencial
e a condição inicial
.
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial
Determine uma região do plano
tal que a equação tenha uma única solução passando por um ponto
da região;
Determinar as soluções das equações:
Resolva a EDO dada por separação de variável
Mostre que os limites das funções dadas, quando
, não existe.