Considere a equação diferencial
dy/dx = 1 + y^2
Mostre que y = tg(x) satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y(0) = 0;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por
A tarefa é mostrar que a função satisfaz essa equação diferencial e também a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar conhecer a derivada da função tangente e como substituir a função na equação diferencial.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de . Sabemos da regra de derivação que:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos substituir na equação diferencial original:
Observamos que ambos os lados da equação são iguais, ou seja,
Isso confirma que a função satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Por fim, vamos verificar a condição inicial . Substituindo na função :
Portanto, a condição inicial também é satisfeita.

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial e a condição inicial .

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