Resolva a EDO dada por separação de variável

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que precisa ser resolvida por separação de variáveis. A equação dada é:
Para resolver essa equação, vamos precisar separar as variáveis e , ou seja, conseguir isolar todos os termos com de um lado e os termos com do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Podemos fazer isso dividindo ambos os lados por :
Agora, vamos isolar :

Passo 3

Olha só, a gente pode simplificar essa fração. Primeiro, vamos fatorar no numerador e no denominador:

Passo 4

Agora, para separar as variáveis, vamos multiplicar ambos os lados por e dividir por :
Assim, conseguimos separar os termos com de um lado e os termos com do outro.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados. Lembrando que:
Para a integral do lado esquerdo, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . A integral fica:
Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição semelhante. Seja , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 6

Igualando as integrais e incluindo a constante de integração, temos:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
onde é uma constante geral.

Passo 7

Para simplificar ainda mais, podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
onde é uma nova constante.

Passo 8

Finalmente, isolando , temos:
Podemos escrever a solução geral da EDO como:
onde é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais, se houver.

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante real.

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se
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