Resolva a EDO dada por separação de variável
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que precisa ser resolvida por separação de variáveis. A equação dada é:
Para resolver essa equação, vamos precisar separar as variáveis
e
, ou seja, conseguir isolar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Podemos fazer isso dividindo ambos os lados por
:
Agora, vamos isolar
:
Passo 3
Olha só, a gente pode simplificar essa fração. Primeiro, vamos fatorar
no numerador e
no denominador:
Passo 4
Agora, para separar as variáveis, vamos multiplicar ambos os lados por
e dividir por
:
Assim, conseguimos separar os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados. Lembrando que:
Para a integral do lado esquerdo, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição semelhante. Seja
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 6
Igualando as integrais e incluindo a constante de integração, temos:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
onde
é uma constante geral.
Passo 7
Para simplificar ainda mais, podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
onde
é uma nova constante.
Passo 8
Finalmente, isolando
, temos:
Podemos escrever a solução geral da EDO como:
onde
é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais, se houver.
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial
Mostre que
satisfaz a equação diferencial e a condição inicial
;
Considere a equação diferencial
Determine uma região do plano
tal que a equação tenha uma única solução passando por um ponto
da região;
Mostre que os limites das funções dadas, quando
, não existe.
Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados.
se
se